Почему теорема Коулмана-Мермина-Вангера не противоречит фазовым переходам в системах с одномерной координатой реакции?

Короткий ответ

Хотя обычно фазовых переходов в одном измерении нет, они могут происходить при особых обстоятельствах:

• при наличии дальних взаимодействий или
• когда каждая локальная степень свободы имеет неограниченное (локальное) пространство состояний, или
• при наличии ограничений (конфигурации с бесконечной энергией),

или в других более специализированных ситуациях. Все примеры в вопросе попадают в одну из этих категорий.

Подробности

Как прокомментировал Иван Веленик, некоторые из примеров, представленных в вопросе, имеют дискретные, а не непрерывные симметрии, и поэтому теорема Мермина-Вагнера неприменима. Тем не менее, этот вопрос по-прежнему актуален, поскольку существует еще один часто цитируемый «закон» равновесной статистической механики, который справедлив для систем с дискретной симметрией и утверждает, что «фазовые переходы отсутствуют в одномерных системах с короткодействующими взаимодействиями». . Этот закон, часто называемый «аргументом Ландау», действительно верен, но с некоторыми важными оговорками. Окончательная ссылка (насколько мне известно), в которой обсуждаются многие мелкие детали, связанные с фазовыми переходами в одномерных системах, — Cuesta and Sanchez, J Stat Phys 2004.. Даже эта превосходная статья не претендует на то, чтобы классифицировать все возможности 1d-фазовых переходов, и действительно, это постоянная область исследований (см., например, эту самую недавнюю статью Сарьяла и др. ).

Переходя к конкретным примерам в вопросе:

1. Я не уверен, что понимаю первый график. Предположительно G — свободная энергия Гиббса, а x — параметр порядка. Если эта интерпретация верна, содержание теоремы подразумевает, что свободная энергия Гиббса 1d-системы с короткодействующими взаимодействиями (и некоторыми другими мелкими шрифтами) не может иметь форму, представленную на графике.

2. Белок представляет собой одномерную молекулу, но, что важно, он живет в трехмерном пространстве. Если хотите, вы можете думать об этом как об одномерной системе с дальнодействующими взаимодействиями (поскольку удаленные части белка могут вступать в контакт). Насколько я понимаю, одномерная воронка — это карикатура. Насколько можно уточнить эту карикатуру, ситуация здесь аналогична примеру 1: свободная энергия не может иметь такую ​​форму, которая допускает фазовые переходы, когда в основе лежит микроскопическая модель 1d с короткодействующими взаимодействиями (и еще немного мелким шрифтом) .

3. Модель ближайших соседей Изинга и модель спинового стекла Эдвардса-Андерсона не имеют фазового перехода в одном измерении. Когда взаимодействия носят дальний характер, могут происходить фазовые переходы (как обсуждается на странице Википедии , связанной с вопросом). Версии этих моделей для среднего поля также имеют фазовый переход, но по сути это модели с бесконечным диапазоном взаимодействия (каждый спин взаимодействует с каждым другим спином).

4. Модель молнии Киттеля обсуждается в статье Куэсты и Санчеса. Это пример, когда фазовый переход может произойти из-за того, что пространство состояний имеет ограничения: все связи с одной стороны «молнии» должны быть закрыты, а все связи с другой стороны должны быть разомкнуты (иными словами, конфигурации с чередованием закрытых а открытые сегменты имеют бесконечную энергию).

Вопрос кажется очень запутанным. Теорема Мермина-Вагнера имеет дело с пространственными измерениями, потому что она рассматривает, как пространственные флуктуации влияют на нарушение непрерывной симметрии.

Это не имеет абсолютно никакого отношения к размерности конфигурационного пространства для отдельной частицы. Например, спиновая система в трех пространственных измерениях может иметь фазовый переход с нарушением симметрии. Это верно, даже если состояние отдельного спина описывается вектором с$82$компоненты, одно действительное число или даже дискретное$0$или$1$.

Точно так же применимость теоремы Мермина-Вагнера к сворачиванию белков зависит от количества пространственных измерений, в которых существуют белки. Это не имеет ничего общего с количеством координат, необходимых для описания состояния одного белка.

Кроме того, вопрос, кажется, утверждает, что один белок может подвергнуться фазовому переходу. Это просто неправильно. Материалы могут подвергаться фазовым переходам, а отдельные молекулы — нет. Впадина в потенциале не является фазой.