Что представляет собой симметрия для теоремы Нётер?

Question

Что представляет собой симметрия для теоремы Нётер?

горькая мания

У меня есть некоторое замешательство по поводу того, что именно представляет собой симметрия, когда я пытаюсь применить теорему Нётер. Я слышал, что и симметрия в действии дает сохраняющуюся величину, и что симметрия в лагранжиане дает сохраняющуюся величину.

Оба эти утверждения сбивают меня с толку. В моем понимании трансформация — это симметрия действия, когда $\delta S = 0$ . Однако на классическом пути я бы ожидал, что это тривиально верно для любого преобразования, а не только для нескольких специальных, поскольку классический путь по определению минимизирует действие. Должен ли я на самом деле принять $\delta S = 0$ указать симметрию только в том случае, если она верна для всех путей, а не только для классического пути? Если это так, имея в виду, что сохраняющаяся величина, которой это соответствует, на самом деле сохраняется только вдоль классического пути, кажется странным, что мне нужно знать что-то о действии на всех путях, чтобы сделать утверждение о сохраняющейся величине на классическом пути. классический путь. Кажется, что вам нужно знать только информацию о действии на путях вблизи классического пути, чтобы сделать утверждение о сохраняющихся величинах на классическом пути. Это неправильно?

Утверждение, что симметрия лагранжиана дает сохраняющуюся величину, кажется странным, потому что существуют преобразования, дающие сохраняющиеся величины, которые не оставляют лагранжиан неизменным. Например, это относится к любому преобразованию, которое изменяет лагранжиан на полную производную. Кажется странным называть это симметрией лагранжиана, если лагранжиан действительно меняется. Я неправильно понимаю эту терминологию?

Ответы (4)

Что представляет собой симметрия для теоремы Нётер?

Прахар · Answer 1

Симметрия классической теории, описываемая действием $S[\varphi]$ где $\varphi$ это множество всех полей в теории это переопределение поля $\varphi(x) \to \varphi'(x)$ такой, что $S[\varphi] = S[\varphi']$ . Обратите внимание, что переопределение поля таково, что оно не действует на координаты $x$ . $^\dagger$ Обратите также внимание, что это определение симметрии вне оболочки.

Утверждение теоремы Нётер состоит в том, что для каждой связанной (тождественной) непрерывной внешней симметрии действия существует ток $j_\mu(x)$ который сохраняется в оболочке . Таким образом, хотя симметрия существует на уровне вне оболочки, ток сохраняется только на уровне оболочки.

Симметрия квантовой теории — это переопределение поля. $\varphi(x) \to \varphi'(x)$ такая, что мера интеграла по путям инвариантна

[г ф] е^{- С [ф]} "=" [г ф^{'}] е^{- С [ф^{'}]}

$[d\varphi]e^{-S[\varphi]} = [d\varphi']e^{-S[\varphi']}$ В этом случае формулировка теоремы Нётер (или, в данном случае, известная как тождество Уорда) имеет вид

\partial^{мю} ⟨ {Дж}_{мю} (Икс) О_{1} ({Икс}_{1}) \dots О_{н} ({Икс}_{н}) ⟩ "=" 0 если Икс \neq {Икс}_{1}, {Икс}_{2}, \dots, {Икс}_{н} .

$\partial^\mu \langle j_\mu(x) {\cal O}_1(x_1) \cdots {\cal O}_n(x_n) \rangle = 0 \quad \text{if}~x\neq x_1,x_2,\cdots,x_n~.$ Строго говоря, в квантовой теории нет понятия «на-оболочке» или «вне оболочки», но можно, грубо говоря, сказать, что все корреляторы находятся «на-оболочке» в том смысле, что корреляторы полей в различных точках удовлетворяют уравнениям движение. Можно также вывести более общую идентичность Уорда, которая говорит нам, что происходит, когда

x = x_{i}

$x=x_i$ для некоторых

i \in {1, \dots, n}

$i\in\{1,\cdots,n\}$ , но я не буду этого делать здесь.

$^\dagger$ _{Это очень важно и часто то, с чем многие люди путают. В теориях поля все преобразования симметрии действуют только на поля, а не на координаты. Часто любят говорить о пространственно-временных симметриях, которые описываются как действующие на координаты каким-то образом. $x \to x'$ . Однако важно помнить, что это всего лишь инструмент для упаковки информации о преобразовании полей. Например, вы можете поговорить о переводах. Это описывается переопределением поля $\phi(x) \to \phi'(x)$ где $\phi'(x+a) = \phi(x)$ . Обратите внимание, что уравнение $\phi'(x+a) = \phi(x)$ следует понимать как способ вывести то, что $\phi'(x)$ с точки зрения $\phi(x)$ а не как переводы, действующие на координаты каким-то образом.}

Qмеханик · Answer 2

Под симметрией понимается симметрия вне оболочки. Как уже отмечал OP, симметрия на оболочке - это пустое понятие . См. также этот пост на Phys.SE.
Теорему Нётер можно обобщить на квазисимметрии, ср . мои ответы Phys.SE здесь и здесь .

Ари · Answer 3

Источник вашего замешательства исходит из определения симметрии действия. Когда теорема Нётер говорит, что операция симметрии — это операция, которая остается инвариантным действием , это не означает $\delta S = 0$ в смысле нахождения классических траекторий. Помните, что доказательство теоремы Нётер использует классическое уравнение Эйлера-Лагранжа. Это означает, что расчет выполняется на оболочке. Здесь исследуется инвариантность действия для конкретной операции симметрии. Это включает в себя внешнюю симметрию , например $x -> x' = \lambda x$ или внутренняя симметрия , например $\phi -> \phi'$ . Итак, вы видите вариацию действия по отношению к этим вариациям. Если действие инвариантно, то вы называете его симметрией. С другой стороны $\delta S = 0$ означает изменение действия по своим параметрам и обнуление их.

Диракология · Answer 4

Свойства симметрии функционала действия не зависят от уравнений движения (они вне оболочки). Это просто означает, что при таких преобразованиях, как $t\rightarrow t'=t+\epsilon f(q,t)$ , $q\rightarrow q'=q+\epsilon g(q,t)$ действие инвариантно, т. е. $S'=S$ , который обычно обозначается $\delta S\equiv S'-S=0$

Обе (непрерывные) симметрии действия и лагранжиана дают сохраняющиеся величины. Однако преобразования, не оставляющие лагранжевого инварианта, также могут давать сохраняющиеся величины. А именно, если лагранжиан квазиинвариантен, $L'=L+\epsilon\frac{d\sigma(q,t)}{dt}$ , то действие (как и уравнения движения) остается инвариантным и существует сохраняющаяся величина, зависящая от поверхностного члена $\sigma$ .

С другой стороны, для доказательства теоремы Нётер используются уравнения движения. Поэтому непрерывная симметрия действия влечет за собой сохраняющуюся величину на оболочке.

Что представляет собой симметрия для теоремы Нётер?

горькая мания

Ответы (4)

Прахар

Qмеханик

Ари

Диракология

Преобразование координат в теореме Нётер

Как найти непрерывные преобразования, оставляющие действие неизменным?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Заряд Нётер для лагранжиана с производными высшего порядка

Теорема Нётер с бесконечными параметрами

Вывод теоремы Нётер для полей

Как применить теорему Нётер

Преобразования на оболочке и вне оболочки в теореме Нётер

Почему теория лоренц-инвариантна, если лагранжиан лоренц-инвариантен?

Порождает ли теорема Нётер также величины, сохраняющиеся в пространстве?