Преобразование координат в теореме Нётер

Question

Преобразование координат в теореме Нётер

Яман Сангхави

Меня смущает в доказательстве теоремы Нётер изменение границы в интеграле действия при преобразовании координат. Я видел в Википедии , что вместе со сменой поля меняются и $\Omega$ к $\Omega'$ , где $\Omega$ является пространственно-временной границей интеграла действия.

Если мы изменим поля и границы как из-за преобразований координат, то не будет ли это нулевым изменением? (Я держу внутренние изменения в поле отдельно)

Разве мы не рассматриваем фиксированную область (произвольную, но неизменную во время течения) пространства-времени, а затем видим изменения лагранжиана, обусловленные только течением полей и некоторым внутренним изменением полей до и после течения? (как показано ниже) Координаты следует рассматривать как фиктивные переменные.

\int_{Ом} дельта л г^{4} Икс

$\int_\Omega \delta L\ d^4x$ Я не думаю, что мы должны перемещать нашу границу по течению, я прав? Более того, в доказательстве, представленном joshphysics , он вообще не рассматривал действие. Он работал только с вариацией лагранжиана, поэтому интеграла, а значит, и границы не было.

Итак, почему некоторые доказательства меняют границу, а некоторые нет? Я имею в виду, как они эквивалентны?

Другой вопрос: если мы докажем теорему Нётер, как это сделал Джошфизик , используя только лагранжиан, а не действие, упустим ли мы некоторые сохранения по сравнению с доказательством, сделанным в Википедии с использованием интеграла действия?

каказ

Когда вы меняете систему координат, ваша граница как геометрического объекта остается той же, но ее описание отличается. Подумайте об обычном интеграле и замене переменных. Изменяются ли в этом случае границы интеграции? Конечно, он меняется (например, с X, You декартово на r, phi - цилиндрическое, поэтому у вас есть граница изменения с x (1,10), y (1,10) на что-то другое для r, phi - потому что, например, фи может быть только в (0,2pi). )

Яман Сангхави

@kakaz О, я понял твою мысль, но тогда почему мы меняем координаты, а не только поле? Потому что, если мы изменим координаты, действие не изменится, так как мы меняем только фиктивные переменные. Я думаю, что мы должны оставить границу прежней и только L следует варьировать с помощью производных Ли, а не варьировать координаты. Пожалуйста, поправьте меня, если я где-то ошибаюсь.

Ответы (2)

Преобразование координат в теореме Нётер

Когда вы меняете систему координат, ваша граница как геометрического объекта остается той же, но ее описание отличается. Подумайте об обычном интеграле и замене переменных. Изменяются ли в этом случае границы интеграции? Конечно, он меняется (например, с X, You декартово на r, phi - цилиндрическое, поэтому у вас есть граница изменения с x (1,10), y (1,10) на что-то другое для r, phi - потому что, например, фи может быть только в (0,2pi). )
@kakaz О, я понял твою мысль, но тогда почему мы меняем координаты, а не только поле? Потому что, если мы изменим координаты, действие не изменится, так как мы меняем только фиктивные переменные. Я думаю, что мы должны оставить границу прежней и только L следует варьировать с помощью производных Ли, а не варьировать координаты. Пожалуйста, поправьте меня, если я где-то ошибаюсь.

Qмеханик · Answer 1

Обратите внимание, что преобразования $^1$ в (первой) теореме Нётер обычно представляют собой комбинацию (вертикальных) преобразований полей целевого пространства $\phi^{\alpha}$ и (горизонтальные) преобразования пространственно-временных координат $x^{\mu}$ .
Напомним, что действие $S_{\Omega}[\phi] =\int_{\Omega} \! d^nx~{\cal L}$ - лагранжева плотность ${\cal L}$ интегрированы по области пространственно-временной интеграции $\Omega$ . Более общая формулировка теоремы Нётер связана с (квази) симметрией действия, а не с плотностью Лагранжа.
Трансформация области пространственно-временной интеграции $\Omega$ индуцируется горизонтальным преобразованием $\delta x^{\mu}$ .
Сообщение Phys.SE , на которое ответил joshphysics, не рассматривает горизонтальные преобразования и, следовательно, не имеет преобразования области интегрирования. $\Omega$ .

--

$^1$ Теорему Нётер можно сформулировать для конечных преобразований, но давайте для простоты рассмотрим в этом ответе только бесконечно малые преобразования.

В пункте нет. 3 вы говорите, что область интегрирования изменяется из-за горизонтального преобразования. Итак, мы позволяем границе течь с преобразованиями координат, верно? Теперь, если мы также позволим полям течь с преобразованием координат, разве это не составит нулевое изменение. Потому что тогда мы меняем и границу, и поля из-за преобразований координат. Разве мы не должны переместить только один из них?
Ситуация с нулевой сдачей является частным случаем, который не всегда выполняется.

Кристоф · Answer 2

Итак, почему некоторые доказательства меняют границу, а некоторые нет? Я имею в виду, как они эквивалентны?

Это не так: общие доказательства «теоремы Нётер» часто рассматривают только ее определенные ограничения. Существует также тенденция скрывать сложности за обозначениями.

Далее я представлю элементарное доказательство простой версии первой теоремы Нётер в одномерном измерении таким образом, который должен обобщать то, что в Википедии называется теоретико-полевой версией, переходя от $t$ к $x^\mu$ и $q$ к $\varphi^A$ .

Лагранжиан будет функцией

л "=" л (Икс, в, т)

$L = L(x,v,t)$ и действие функционал

С [д] "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} л (д (т), \dot{д} (т), т) г т

$S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t),\dot q(t),t) \,dt$

Предложение. Если преобразование

т \to т^{'} (т) "=" т + ϵ Т (т)

$t\to t'(t) = t + \epsilon T(t)$

Икс \to {Икс}^{'} (Икс, т) "=" Икс + ϵ Икс (т)

$x\to x'(x,t) = x + \epsilon X(t)$

д^{'} (т^{'}) "=" д (т (т^{'})) + ϵ Икс (т (т^{'}))

$q'(t') = q(t(t')) + \epsilon X(t(t'))$ является квазисимметрией действия

дельта С \approx Δ К

$\delta S \approx \Delta K$ на оболочке (т.е. в предположении уравнений движения), то существует сохраняющаяся величина

\frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial в} (Икс - \dot{д} Т) + л Т - К) \approx 0

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial v} (X - \dot q T) + LT - K \right) \approx 0$ Здесь,

дельта С "=" \frac{г}{г ϵ} |_{ϵ "=" 0} С [д^{'}]

$\delta S = \frac{d}{d\epsilon}\Big|_{\epsilon=0} S[q']$

Δ К "=" К (т_{2}) - К (т_{1}) "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} \frac{г К}{г т} г т

$\Delta K = K(t_2)-K(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} \frac{dK}{dt} dt$

Доказательство.

\begin{aligned} дельта С & "=" \frac{г}{г ϵ} |_{ϵ "=" 0} \int_{т^{'} (т_{1})}^{т^{'} (т_{2})} л (д^{'} (т^{'}), \frac{г}{г т^{'}} д^{'} (т^{'}), т^{'}) г т^{'} \\ "=" \frac{г}{г ϵ} |_{ϵ "=" 0} \int_{т_{1}}^{т_{2}} л (д (т) + ϵ Икс (т), {(\frac{г т^{'}}{г т})}^{- 1} \frac{г}{г т} (д (т) + ϵ Икс (т)), т + ϵ Т (т)) г т^{'} (т) \\ "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} [(\frac{\partial л}{\partial Икс} Икс + \frac{\partial л}{\partial в} \frac{г}{г ϵ} |_{ϵ "=" 0} \frac{\dot{д} + ϵ \dot{Икс}}{1 + ϵ \dot{Т}} + \frac{\partial л}{\partial т} Т) г т + л \frac{г}{г ϵ} |_{ϵ "=" 0} г (т + ϵ Т)] \\ "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} [\frac{\partial л}{\partial Икс} Икс + \frac{\partial л}{\partial в} (\dot{Икс} - \dot{д} \dot{Т}) + \frac{\partial л}{\partial т} Т + л \dot{Т}] г т \end{aligned}

$\begin{align} \delta S &= \frac{d}{d\epsilon}\Big|_{\epsilon=0} \int_{t'(t_1)}^{t'(t_2)} L(q'(t'),\frac{d}{dt'}q'(t'),t')\,dt' \\&= \frac{d}{d\epsilon}\Big|_{\epsilon=0} \int_{t_1}^{t_2} L(q(t) + \epsilon X(t),\left( \frac{dt'}{dt} \right)^{-1}\frac{d}{dt}(q(t) + \epsilon X(t)),t + \epsilon T(t)) \,dt'(t) \\&= \int_{t_1}^{t_2}\left[ \left( \frac{\partial L}{\partial x}X + \frac{\partial L}{\partial v}\frac{d}{d\epsilon}\Big|_{\epsilon=0}\frac{\dot q + \epsilon \dot X}{1 + \epsilon \dot T} + \frac{\partial L}{\partial t} T \right)\,dt + L \frac{d}{d\epsilon}\Big|_{\epsilon=0}d(t + \epsilon T) \right] \\&= \int_{t_1}^{t_2}\left[ \frac{\partial L}{\partial x}X + \frac{\partial L}{\partial v} (\dot X - \dot q \dot T) + \frac{\partial L}{\partial t} T + L \dot T\right]\,dt \end{align}$

С использованием

\frac{\partial л}{\partial в} \dot{Икс} "=" \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial в} Икс) - (\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial в}) Икс

$\frac{\partial L}{\partial v} \dot X = \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial v} X \right) - \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v} \right) X$

\frac{\partial л}{\partial т} Т + л \dot{Т} "=" \frac{г}{г т} (л Т) - \frac{\partial л}{\partial Икс} \dot{д} Т - \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial в} \dot{д} Т) + (\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial в}) \dot{д} Т + \frac{\partial л}{\partial в} \dot{д} \dot{Т}

$\frac{\partial L}{\partial t} T + L \dot T = \frac{d}{dt}\left( LT \right) - \frac{\partial L}{\partial x} \dot q T - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial v} \dot q T \right) + \left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v} \right) \dot q T + \frac{\partial L}{\partial v}\dot q \dot T$ мы приходим к

дельта С "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} [(\frac{\partial л}{\partial Икс} - \frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial в}) (Икс - \dot{д} Т) + \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial в} (Икс - \dot{д} Т) + л Т)] г т

$\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\left[ \left( \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v} \right)(X - \dot q T) + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial v}(X - \dot q T) + LT \right) \right]\,dt$

Первый член исчезает, если мы принимаем уравнения Эйлера-Лагранжа, второй член дает наш закон сохранения, как только мы двигаемся $K$ к этой стороне уравнения. На этом доказательство заканчивается. $\square$

Обратите внимание на изменение области интегрирования на первом этапе. Новая временная координата отнюдь не была фиктивной переменной — преобразование является «активным», однопараметрической группой диффеоморфизмов.

Преобразование координат в теореме Нётер

Яман Сангхави

каказ

Яман Сангхави

Ответы (2)

Qмеханик

Яман Сангхави

Qмеханик

Кристоф

Что представляет собой симметрия для теоремы Нётер?

Как найти непрерывные преобразования, оставляющие действие неизменным?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Заряд Нётер для лагранжиана с производными высшего порядка

Теорема Нётер с бесконечными параметрами

Вывод теоремы Нётер для полей

Как применить теорему Нётер

Преобразования на оболочке и вне оболочки в теореме Нётер

Почему теория лоренц-инвариантна, если лагранжиан лоренц-инвариантен?

Порождает ли теорема Нётер также величины, сохраняющиеся в пространстве?