Почему теория струн на своем мировом листе является двумерной квантовой (конформной) теорией поля?

Да, можно обсуждать обычную квантовую механику, основанную на точечных частицах, используя 0+1-мерную квантовую теорию поля (т.е. квантовую механику), определенную на мировой линии. Именно так начинаются несколько учебников по теории струн, в том числе учебник Полчинского.

Функции Грина$G(x,y)$могут быть рассчитаны как традиционная «сумма Фейнмана по всем мировым линиям», и они сопоставляются с амплитудой перехода частицы из одной точки в другую. Однако, чтобы заставить точечные частицы взаимодействовать, как в КТП, нужны сингулярные мировые линии с соединениями, которые выглядят точно так же, как вершины на диаграммах Фейнмана или диаграммах целиком. Это не случайно: диаграммы Фейнмана действительно описывают топологию мировых линий в соответствующих историях, в которых точечные частицы сливаются и разделяются!

Преимущество теории струн и причина, по которой она, в конечном счете, УФ-конечна, заключается в том, что мировые листы гладкие и несингулярные, даже если взаимодействие частиц (струн) разрешено, т. е. если струны соединяются и расщепляются.

Импульс мирового листа вдоль$\sigma$направление мирового листа называется$L_0-\tilde L_0$, и этот оператор исчезает. Только состояния, собственное значение которых при этом операторе равно нулю, являются физическими состояниями строки (есть дополнительные условия).

Есть простая причина, по которой импульс должен быть равен нулю. Теория на мировом листе — это двумерная теория гравитации, потому что выбор координат$(\sigma,\tau)$на мировом листе есть и должно быть нефизическим (симметрия диффеоморфизма). И, как и в других теориях гравитации, можно вывести что-то вроде уравнений Эйнштейна. В$d=2$размеры, тензор Эйнштейна$R_{ab}-Rg_{ab}/2$тождественно равен нулю, поэтому уравнения Эйнштейна сводятся к

$$T_{ab} = 0$$ откуда также следует, что плотность импульса $T_{++},T_{--}$кроме всего прочего, должен обратиться в нуль и общий импульс.

В основе «дискретных возбуждений струны» условие$L_0-\tilde L_0=0$ибо обращение в нуль полного импульса переводится в условие, что «суммарное возбуждение левых квантов» такое же, как и для «правых квантов» для замкнутой струны (в этом уравнении могут возникать аддитивные сдвиги из-за суммы всех целых чисел и т. д.). Для открытых струн соответствующее условие не существует, поскольку трансляционная симметрия вдоль$\sigma$направление мирового листа явно прерывается конечными точками открытой строки.

Общая теория эйнштейновской гравитации всегда будет плохо определена на квантовом уровне из-за различных расхождений. Теория мирового листа, описывающая пертурбативную теорию струн, является специальной 1+1-мерной теорией квантовой гравитации, которая избегает этой проблемы, поскольку вообще не содержит никаких физических степеней свободы метрического тензорного поля. Это потому, что три компоненты метрического тензора$h_{\tau\tau},h_{\tau\sigma},h_{\sigma\sigma}$могут быть локально установлены заранее определенные несингулярные значения с помощью 3 параметров, которые являются функциями$\sigma,\tau$также, а именно двумя параметрами для диффеоморфизма и одним параметром для скейлинга Вейля (разными для каждой точки). Вот почему симметрия Вейля необходима для непротиворечивости теории струн в пространственно-временно-лоренц-ковариантном формализме. Конформная симметрия — это остаточная симметрия, оставшаяся от диффеоморфизма и симметрии Вейля даже после того, как мы калибровочно зафиксировали привилегированную форму метрики мирового листа. Конформные преобразования - это те, которые сохраняют углы, т.е. сохраняют метрику вплоть до масштабирования Вейля (что также может быть сделано, поскольку это симметрия).