Потенциальная энергия системы масса-пружина

Question

Потенциальная энергия системы масса-пружина

Руслан Мушкаев

У меня возникли проблемы с определением потенциальной энергии системы масса-пружина, изображенной ниже. Мы предполагаем, что растяжения всех 3 пружин равны нулю, когда $x_1=x_2=0$ . Потенциальная энергия, которую я получил, по-видимому, неверна. Вот что я сделал:

U "=" \frac{1}{2} к {Икс}_{1}^{2} + \frac{1}{2} к {Икс}_{2}^{2} + \frac{1}{2} к ({Икс}_{1} + {Икс}_{2})^{2} "=" к ({Икс}_{1}^{2} + {Икс}_{1} {Икс}_{2} + {Икс}_{2}^{2}),

$U = \frac{1}{2}kx_1^2 + \frac{1}{2}kx_2^2 + \frac{1}{2}k(x_1+x_2)^2 = k(x_1^2+x_1x_2+x_2^2),$ где я рассмотрел потенциальную энергию каждой пружины отдельно. Вариант схемы маркировки для

U

$U$ это:

$k(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)$ , так я полагаю для них ЧП для средней пружины это $U_{mid} = \frac{1}{2}k(x_1-x_2)^2 = \frac{1}{2}k(x_2-x_1)^2$ . Так что я предполагаю, что они предположили, что $x_1$ отрицательно? Является ли это источником несоответствия?

КАФ

Для потенциальной энергии, запасенной в средней пружине, рассмотрим систему двух масс, соединенных пружиной расслабленной длины.

ℓ

$\ell$ . Сместить

m 2

$m2$ справа от

x_{2}

$x_2$ . Если

m 1

$m1$ был прикреплен к стене, у вас был бы вклад

\sim k x_{2}^{2}

$\sim kx_2^2$ . Но

m 1

$m1$ не ограничивается таким образом, поэтому он также перемещается вправо через соединение, и новая длина пружины

ℓ + x_{2} - x_{1}

$\ell+x_2-x_1$ .

нподжо

Вы и @nicael путаете два не связанных между собой вопроса. Одна из проблем — начальные условия, накладываемые на массы. Вы можете настроить вибрационную систему, предварительно сдвинув каждую из масс либо влево, либо вправо. Вторая проблема заключается в выборе положительного направления оси x. Выбор одного и того же направления для обеих масс обычно является предпочтительным выбором. В таком случае,

\frac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}

$\frac{1}{2}k(x_2-x_1)^2$ верно.

Ответы (1)

Потенциальная энергия системы масса-пружина

Для потенциальной энергии, запасенной в средней пружине, рассмотрим систему двух масс, соединенных пружиной расслабленной длины. $\ell$ . Сместить $m2$ справа от $x_2$ . Если $m1$ был прикреплен к стене, у вас был бы вклад $\sim kx_2^2$ . Но $m1$ не ограничивается таким образом, поэтому он также перемещается вправо через соединение, и новая длина пружины $\ell+x_2-x_1$ .
Вы и @nicael путаете два не связанных между собой вопроса. Одна из проблем — начальные условия, накладываемые на массы. Вы можете настроить вибрационную систему, предварительно сдвинув каждую из масс либо влево, либо вправо. Вторая проблема заключается в выборе положительного направления оси x. Выбор одного и того же направления для обеих масс обычно является предпочтительным выбором. В таком случае, $\frac{1}{2}k(x_2-x_1)^2$ верно.

Фарчер · Answer 1

Рассмотрим немного другую схему:

Удлинения (смещение конца пружины из нерастянутого положения) трех пружин равны $x_1 \hat x, \, x_2 \hat x_2$ и $(x_2-x_1) \hat x$ где $x_1$ и $x_2$ компоненты перемещений в $\hat x$ направление.
Обратите внимание, что компоненты $x_1$ и $x_2$ может быть как отрицательным, так и положительным.

Это дает полную потенциальную энергию, запасенную в трех пружинах, как $\frac 12 kx_1^2 + \frac 12 kx_2^2+\frac 12 k (x_2-x_1)^2$

Если $x_1 =x_2$ тогда в средней пружине нет запаса упругой потенциальной энергии, как можно было бы ожидать.

Так что я предполагаю, что они предположили, что $x_1$ отрицательно?

Если смещение конца левой пружины такое, как показано на вашей диаграмме, то растяжение средней пружины по-прежнему равно $(x_2-x_1) \hat x$ но в этом случае компонент $x_1$ будет иметь отрицательное значение, поэтому вы получите $(x_2-(-|x_1|))= (x_2+|x_1|)$ как продолжение средней пружины.

Это действительно так, но это не так просто потому, что на картинке ясно видно, что $x_1$ и $x_2$ имеют противоположное направление, или нет?
@nicael Обычно только одно направление определяется как положительное. В этом примере я предположил, что это $\hat x$ .
Это довольно длинный способ сказать: «Да, вы правы».
@sammygerbil Так вы говорите, что направления стрелок на диаграмме определяют положительные направления?
Я говорю, что Руслан уже определил источник несоответствия. Нет никаких причин, по которым направления на диаграмме не могут определять положительные направления для $x_1, x_2$ . Но это соглашение не соответствует ответу, данному в схеме выставления оценок.

Потенциальная энергия системы масса-пружина

Руслан Мушкаев

КАФ

нподжо

Ответы (1)

Фарчер

Никаэль

Фарчер

Сэмми Песчанка

Фарчер

Сэмми Песчанка

Как рассчитать потенциальную энергию связанных осцилляторов?

Почему в этой задаче работа, совершаемая пружиной, не равна линейному интегралу силы пружины по ее перемещению?

Энергия, запасенная весной [закрыто]

Почему мы включаем xxx в это весеннее уравнение?

Упругая потенциальная энергия и положение равновесия при изменении массы в вертикальной системе масса-пружина

Подвешенная масса от пружины / Установка потенциала на 0

Потенциальная энергия пружин и силы тяжести и работа силы

Каково значение зажима центра пружины?

Почему напряжение в перетягивании каната не вдвое превышает показания весов? [дубликат]

Почему угол наклона не влияет на то, насколько высоко запущенный объект будет скользить по пандусу без трения?