Почему в критической точке наблюдаются большие флуктуации и почему теория Ландау работает, несмотря на такие большие флуктуации?

Как уже упоминалось в комментарии elifino, общеизвестно, что вблизи критической точки две (или несколько) разных фаз с почти одинаковой свободной энергией конкурируют за определение основного состояния (или низкоэнергетических состояний). Следовательно, относительно небольшие колебания в системе могут привести к резким эффектам. В качестве простейшего примера на рисунке$^\dagger$ниже для двумерной модели Изинга вблизи критичности «критические флуктуации» показаны черными и белыми островками (представляющими направления магнитного момента вверх и вниз):

$\hskip2in$

Почему флуктуации становятся такими большими в критической точке?

Такие колебания велики вследствие определения таких переходов; а именно, непрерывное изменение свободной энергии и, следовательно, конкурирующие основные состояния. Собственно, это то , что «такое особенное в критической точке фазового перехода» (ответ на первый вопрос). Теория Ландау-Гинзбурга (непрерывных) фазовых переходов второго рода является, по сути, феноменологической теорией, которая дает особенно хорошее описание такого перехода, поскольку она основана на таком наблюдении . Поэтому теория ЛГ сама по себе не объясняет , почему флуктуации велики вблизи критической точки, но она основана напо этому факту; по сути, это эффективный способ сформулировать наблюдаемый факт.

Теория фазового перехода Ландау представляет собой своего рода усеченное разложение параметра порядка вокруг критической точки. Согласно этой теории, в критической точке или около нее флуктуации велики, поэтому любая теория среднего поля не должна работать. Достаточно ниже критической точки, где параметр порядка велик, расширение и усечение при меньших степенях параметров порядка не должны выполняться. Так почему же все оказывается таким чистым? Почему теория Ландау работает [так хорошо]?

В теории LG среднее статистическое значение «параметра порядка» (скажем,$\langle \phi \rangle$) определяет точку перехода; ниже перехода в упорядоченной фазе имеет конечное значение (с относительно малыми флуктуациями), а выше перехода в неупорядоченной фазе обращается в нуль. В промежутках, вблизи критической точки, флуктуации усиливаются и окончательно разрушают порядок в том смысле, что$\lim_{T \rightarrow T_C} \langle \phi \rangle = 0$. Более аналитически это поведение описывается свободной энергией (плотностью), которая имеет форму$^{*}$

$$F_{LG} = r \, \phi^2 + c \, | \nabla \phi |^2 + g_4 |\phi|^4 + \cdots ~,$$ где коэффициенты $r$, $c$, $g_4$и т. д. зависят от микроскопических деталей физической системы и обычно являются функцией температуры и не могут быть определены самой теорией Ландау-Гинзбурга. Тем не менее теория ЛГ дает общее и единое объяснение непрерывных фазовых переходов в терминах параметра порядка и некоторых коэффициентов — и в этом ее сила.

Теория ЛГ не является «усеченным разложением параметра порядка вокруг критической точки». Параметр заказа$\langle \phi \rangle$на самом деле может иметь любое значение среднего поля,$\phi_{MF}$. Важным моментом является изменение (или колебания вокруг) этого значения среднего поля,$\langle \phi \rangle - \phi_{MF}$; это означает, что важны только флуктуации вокруг значения среднего поля, поскольку они могут разрушить порядок. Основная идея состоит в том, что ниже критической точки свободная энергия (свободная энергия Ландау-Гинзбурга) определяется в терминах параметра порядка, который дает возможные конфигурации системы в терминах некоторых заданных параметров,$r$,$c$и т. д . Эта свободная энергия не является разложением параметра порядка; первоначально форма свободной энергии Ландау основывалась только на правильном выборе параметра порядка (например, намагниченности) и симметрии системы. В этом подходе конкретное значение параметра порядка не имеет значения — например, можно масштабировать его так, чтобы он был в$[-1 , 1]$. Важнейший вопрос состоит в том, чтобы увидеть, как флуктуации будут «размазывать» это фиксированное значение или даже приводить к совершенно новой конфигурации с другими свойствами (например, из магнитоупорядоченной фазы в парамагнитную фазу).

В этом отношении теория LG обеспечивает хорошее описание системы ниже точки перехода (при условии, что выбран правильный параметр порядка и соблюдаются симметрии). В конечном итоге это даст точку распада упорядоченной фазы (точку перехода). По сути, это тот момент, когда теория ЛГ рушится из-за больших флуктуаций. Точнее, она говорит вам, где (в фазовом пространстве) флуктуации подавляют систему, так что сама конкретная теория ЛГ перестает быть хорошим описанием.

Подробное обсуждение см., например, в Huang, K. «Statistical Mechanics» (1987), chp. 17 < WCat >, или Сетна, Дж. П. «Статистическая механика: энтропия, параметры порядка и сложность» (2012), гл. 12 < ВКат >.

---

^{$^\dagger$Рисунок взят из книги Сетны, процитированной выше.
$^{\ast}$В зависимости от справочного материала используются различные обозначения.}

Комментарий в сторону: по-моему, критерий Гинзбурга в этом разговоре не упоминался (извиняюсь, если что не так).

Критерий Гинзбурга дает меру как для флуктуаций,$\delta \phi$параметра порядка вокруг среднего постоянного значения$\phi_0$и удельной теплоемкости$C$. Оказывается, что

$$\begin{equation} \frac{<{\delta \phi^2}>}{\phi_0^2} \propto \xi^{4-d}, \quad C\propto \xi^{4-d}, \end{equation}$$ куда$\xi$корреляционная длина. Это означает, что флуктуации сингулярны вблизи точки перехода, где$\xi\to\infty$если$d<4$. То же самое происходит для$C$а дивергентное поведение связано с растущими флуктуациями. В$d<4$предсказания теории LG больше не надежны, и необходимо использовать методы перенормировки.