Почему векторное представление группы Лоренца O(3,1)O(3,1)O(3,1) является прямой суммой представлений со спином 0 и со спином 1 группы вращений SO(3)SO(3) )ТАК(3)?

Вектор не сочетается со словом «представление». Я думаю, что вектор, на который вы ссылаетесь, представляет собой 4-вектор в «несущем пространстве», который$4 \times 4$Матрицы Лоренца работают. $4 \times 4$матрицы — это то, что называется «представлением» группы Лоренца. $4 \times 4$представление — это то, с чем вы лучше всего знакомы. Элементы матрицы вращения заняты$3 \times 3$и$1 \times 1$блоки по диагонали. Например, представление 4x4 вращения группы Лоренца 4-вектора вокруг оси y:

$$\text{Rot}_y(\theta)\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \\ \end{bmatrix}$$ Обратите внимание, что все повороты преобразуются$(x,y,z)$как трехвектор (=спин-$1$) и преобразовать$t$в себя (т.е. как единый вектор = спин-$0$). Итак$4 \times 4$представление группы Лоренца является прямой суммой представлений спина 1 и спина 0 группы вращения$SO(3)$.