Почему я ошибаюсь в том, как рассматривать калибровочную теорию?

Вы правы, неправильно думать, что в калибровочной теории «калибровочные преобразования — это просто избыточность». Это становится верным только в том случае, если отказаться от локальности, игнорировать все граничные эффекты, все инстантонные эффекты и, следовательно, большую часть того, что интересно в калибровочной теории. Конечно, формирование классов калибровочной эквивалентности (скажем, наблюдаемых) — это то, чем хочется заниматься время от времени, но рассматривать только классы калибровочной эквивалентности — значит убить калибровочную теорию.

Примеры:

1) Инстантоны: каждое калибровочное расслоение на n-диске эквивалентно тривиальному. Однако на n-сфере есть нетривиальные калибровочные расслоения — инстантонные сектора. Если вы думаете, что учитываются только классы калибровочной эквивалентности, то есть только тривиальное калибровочное расслоение на одном полушарии, тривиальное калибровочное расслоение на другом полушарии, и вам нужно тривиально склеить их на экваторе, чтобы получить глобальное тривиальное калибровочное расслоение. Вместо этого на самом деле происходит то, что калибровочные преобразования не являются избыточностью, а представляют собой все, что составляет нетривиальность инстантонного сектора с помощью сцепляющей конструкции . Игнорировать это означает иметь нетривиальные глобальные структуры, которые не получаются склеиванием локальных структур, и, следовательно, означает нарушение принципа локальности.

2) Граничные поля. То, как появляется модель ВЗВ на границе теории Черна-Саймонса : калибровочные преобразования теории Черна-Саймонса на границе становятся самими полями модели ВЗВ.

3) дефекты высших коразмерностей: петли Вильсона. Точно так же поля на петле Вильсона в теории Черна-Саймонса полностью представляют собой калибровочные преобразования объемлющего калибровочного поля, ограниченные петлей. См. здесь обзор и ссылки на литературу.

4) в целом: Локальность в калибровочной теории. Она ломается, если пренебречь калибровочными преобразованиями, см. указатели здесь .

[редактировать: комментатор ниже указывает, что все в порядке, но, похоже, не касается конкретно конструкции, о которой спрашивал ОП. На самом деле это так, вот как:

5) Калибровочные поля из локальной калибровки. Традиционный из учебников физики способ получения калибровочных полей из локальной калибровочной симметрии является примером локальной релевантности калибровочных преобразований следующим образом.

Каждое расслоение фермионов локально калибровочно эквивалентно тривиальному такому, и поэтому несет тривиальную связность , заданную только производной. Но, помня, что калибровочные преобразования являются локальной реальностью, можно заметить, что они переводят эту тривиальную связь в связь с ненулевым векторным потенциалом . $A$. Пока здесь еще будет исчезающая напряженность поля, уже здесь что-то может произойти глобально: если куча этих$A$склеены калибровочными преобразованиями, мы все еще можем иметь глобально нетривиальный инстантонный сектор. Учитывая это, мы вынуждены разрешить общие локальные векторные потенциалы$A$и находим затем, что, склеивая их через лоскуты с помощью калибровочных преобразований, мы находим полное пространство модулей всех возможных калибровочных полей.

Однако, если, и это правильный момент, который наблюдает OP, кто-то объявляет, что все локальные калибровочные преобразования являются просто избыточностью, то это означает замену каждого локального векторного потенциала$A$по его классу калибровочной эквивалентности. Склеивание их между патчами никогда не дает всех конфигураций глобального калибровочного поля (например, если класс калибровочной эквивалентности был 0-классом, никто никогда не найдет инстантонные сектора глобального класса кручения).

]

Математически здесь имеет место утверждение, что калибровочные поля образуют не пространство модулей , а « стек модулей ». Математическая концепция стека — это то, что означает сочетание локальности с калибровочным принципом. Описание этого есть в нашем архиве arXiv:1301.2580 .

Например, то, что относится к примерам 2) и 3) выше, где калибровочные преобразования в более высоком измерении становятся подлинными полями в более низком измерении, по существу является примером построения цикла на стеках: стек модулей$\mathbf{B}G$из$G$-instanton секторы имеют один компонент

(следовательно, «существует только один класс калибровочной эквивалентности»), но, тем не менее, он помнит всю природу калибровочных преобразований

Думать, что «калибровочная эквивалентность является избыточностью», означает думать, что стек модулей$\mathbf{B}G$с тем же успехом можно заменить его 0-усечением$\tau_0 \mathbf{B}G\simeq \ast$, что означает думать, что местные$G$-калибровочная теория тривиальна.

Те же аргументы применимы к полному стеку модулей.$\mathbf{B}G_{conn}$из$G$-калибровочные поля (а не только их инстантонные сектора). затем$\pi_0(\mathbf{B}G_{conn})$есть пучок классов калибровочной эквивалентности$\mathfrak{g}$-значные дифференциальные 1-формы. Это больше, чем просто суть, как раньше, но все же лишь слабая тень того, о чем калибровочная теория.

Честно говоря, я думаю, что маршрут, который вы описываете (и который также используется во многих учебниках), совершенно не мотивирован физически. Вы начали с теории фермиона с глобальной симметрией, которая отображает физические состояния в различные физические состояния. Эта теория обладает тем свойством, что задание начальных условий на пространственноподобной поверхности полностью определяет эволюцию системы. Это то, что вы ожидаете как физик.

Теперь по какой-то причине вы хотите сделать эту симметрию локальной. При этом вы уничтожаете это свойство. Локальная инвариантность означает, что данный набор начальных условий может привести к любому количеству конечных состояний. Надеюсь, вы согласны, что это не имеет физического смысла. Чтобы решить эту проблему и восстановить хорошее свойство, вам нужно пройти через некоторую сложную процедуру исправления калибровки, которая обычно скрывает другие хорошие свойства теории (лоренц-инвариантность, унитарность и т. д.).

Я согласен, что здорово, что калибровка симметрии вводит новые поля, но это не так уж удивительно, поскольку вы вручную ввели новое нединамическое поле (параметр калибровки). Между тем, цена, которую вы платите, — это предсказуемость, пока вы не зафиксируете калибровку.

Я думаю, что другой путь, который вы упомянули, который отстаивается в книгах Вайнберга и поддерживается недавними исследованиями подходов к QFT на оболочке, имеет больше физического смысла. Вы занимаетесь квантовой механикой. Гильбертово пространство самоорганизуется в представления глобальных симметрий. Проведите небольшой групповой анализ. Откройте для себя, что вы не можете поставить спиральность$\pm1$в локальном поле, построенном из операторов рождения и уничтожения без калибровочной инвариантности. Как только вы доберетесь до этой точки (приверженности локальному описанию), вы получите все важные положения доктора Шрайбера, многие из которых могут быть связаны с измеримыми физическими величинами (например, инстантоны, осевая аномалия и$\pi^0 \to \gamma \gamma$). Обратите внимание, что при работе с калибровочной теорией вы по-прежнему выбираете , какие состояния идентифицировать с помощью граничных условий на полях.

Поскольку вы спрашивали именно об актуальности методов спинорной спиральности, я скажу несколько слов. Правда, за последние годы достигнут огромный прогресс в вычислении амплитуд рассеяния на оболочке, где калибровочная инвариантность не нужна, действие маленькой группы просто и очевидно, а вычисления гораздо проще. Некоторые люди любят говорить, что это демонстрирует, что нам не нужна никакая локальная формулировка и что калибровочная теория не является фундаментальной. Однако вы должны иметь в виду, что почти все эти достижения были достигнуты в вычислении возмущений .количества. Многие наиболее интересные эффекты в калибровочной теории на самом деле не являются пертурбативными, и программа амплитуд на самом деле не имеет возможности зафиксировать эту информацию. Если они поймут, как вычислить инстантонный вклад в рассеяние в формализме на оболочке, то я думаю, что в конечном итоге ответ будет заключаться в том, что калибровочная инвариантность совершенно не нужна и нефизична. До тех пор самое большее, что вы можете сказать, это то, что локальная калибровочно-инвариантная картина позволяет вам вычислять больше вещей. В физике единственной реальной оценкой формализма является то, как он воспроизводит измерения.