Была ли свободная квантовая теория поля Клейна-Гордона вписана в алгебраическую структуру Хаага-Кастлера? (На самом деле, Джон Баэз сказал мне «да», и он должен знать.) Если да, то можете ли вы описать основную стратегию и/или дать подсказки?
Тот же вопрос для свободной теории поля Дирака.
Да, это стандартные примеры. Некоторые ссылки собраны здесь .
Для быстрого обзора/обзора см., например, слайды 11-17 в
Обсуждение свободного скаляра Минковского и искривленного пространства-времени находится в разделе 3.2 книги.
Обсуждение поля Дирака и его деформаций, например, в
Есть еще много, просто гонитесь за ссылками. Если вообще обсуждается какой-либо пример, то это свободное скалярное поле. Это то, что мотивировало и обучало большую часть теории. Искусство состоит в том, чтобы выйти за рамки этого примера.
Как упомянул Урс в своем ответе, свободные поля действительно представляют собой руководящие примеры для различных аксиоматических систем КТП. Построение свободных полей в пространстве Минковского является стандартной частью теории, хотя может потребоваться некоторое время, чтобы найти точную ссылку, где проверяется, что такая конструкция удовлетворяет желаемому набору аксиом. В частности, для системы аксиом Хаага-Кастлера, когда теория построена на всем пространстве Минковского, необходимо показать инъективность и изоморфизм алгебр, локализованных в подмножествах пространства Минковского, относительно соответствующих включений этих подмножеств.
Конструкции различных свободных бозонных и фермионных полей, включая конкретные случаи скалярных и дираковских полей, можно найти в этих классических справочниках с несколько разной степенью детализации:
Баез, Дж. К., Сигал, И. Е., Чжоу, З., Введение в алгебраическую и конструктивную квантовую теорию поля (Принстон, 1992).
Уолд, Р.М., Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени и термодинамика черных дыр (Чикаго, 1994).
В строительстве можно выделить два основных этапа. Нужно построить линейное пространство решений как симплектическое многообразие (это классическое фазовое пространство). Тогда нужно превратить алгебру функций на этом пространстве в некоммутативную -алгебра квантовых наблюдаемых (это квантование). Поскольку рассматриваемые теории являются линейными, после проведения необходимого функционального анализа это делается с помощью бесконечномерной версии того, как это делается для простого гармонического осциллятора. Для фермионов это довольно просто. Для бозонов приходится использовать промежуточный прием работы с алгеброй ограниченных функций, порожденных возведенными в степень размытыми полями (это алгебра Вейля). Фактические неограниченные операторы, представляющие размытые поля, строятся путем взятия производных элементов алгебры Вейля после выбора представления.
Те же шаги появляются и в работе над КТП по искривленному пространству-времени, где в разных источниках описаны отдельные шаги с разным уровнем детализации. Чтобы получить из последних построений что-то вроде аксиом Хаага-Кастлера, нужно просто ограничиться пространством-временем, состоящим из причинно-алмазных подпространств пространства Минковского. Классические ссылки на определенные теории поля включают:
Самым большим техническим камнем преткновения в этих ссылках является то, как они обрабатывают (или не обрабатывают) некомпактные поверхности Коши.
Современным обобщением аксиом Хаага-Кастлера на произвольное глобально гиперболическое лоренцево пространство-время являются аксиомы Брунетти-Фреденхагена-Верха (или локально ковариантной квантовой теории поля). Вот несколько современных ссылок, которые дают построение свободных полей (включая большинство приведенных выше конкретных примеров) с большими математическими подробностями, которые непосредственно вписываются в эту структуру:
(Примечание для знатоков: в этой ограниченной ситуации квантование действительно является функтором!)
Конечно, можно найти намного больше литературы, копаясь вперед и назад в сети цитирования, начиная с приведенных выше ссылок.
Грег Уикс