Принцип Гамильтона - получение уравнений Гамильтона

1. Нет, обычно нет изменения независимых координат (в данном случае: координата времени$t$), при выводе уравнений Эйлера-Лагранжа. Только зависимые переменные (в данном случае:$q^i(t)$и$p_i(t)$) разнообразны.

2. Да,$\frac{d}{dt}(\delta q^i)=\delta \dot{q^i}$, см., например , этот пост Phys.SE, в котором также обсуждаются ситуации, в которых это не так.

Вывод должен работать даже для зависящих от времени гамильтонианов. Дело в том, что мы не рассматриваем вариации временной параметризации, поэтому$\delta t = 0$.

Вы правы, что$\delta \dot q = \frac{d}{dt}\delta q$. По сути, операция вариации определяется в терминах производной, поэтому она коммутирует с обычными производными.

В старых изданиях Гольдштейна есть глава, посвященная вариационному исчислению как математическому инструменту, отдельному от физических приложений. Если эта глава все еще существует в вашем издании, вы можете просмотреть ее.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Во-первых, после прочтения подхода Гольдштейна не похоже, что он предполагает, что гамильтониан в общем случае не зависит от времени, т.е.$\frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\neq 0$в общем. Однако, так как мы выполняем нашу вариацию по «пути», и это не имеет смысла для$t$иметь какую-либо зависимость (неявную или явную) от пути, поэтому его вариация должна быть$\delta t=0$. (В стандартном выводе мы рассматриваем возмущение$\epsilon \eta (t)$пути с соответствующими граничными условиями и изменяться относительно$\epsilon$, очевидно, мы должны иметь$\frac{\delta t}{\delta \epsilon}=0$.)

Для второй части, поскольку мы варьируем$\mathcal S$относительно пути, и это совершенно не зависит от производной по$t$, две производные коммутируют, и выражение, которое вы указали, верно. (В стандартном выводе мы варьируем относительно$\epsilon$но это не существенно - то, что изменение относительно пути, как бы мы ни "параметризировали" это изменение, не зависит от производной по времени на концептуальном уровне).