Уравнения Эйлера-Лагранжа из комплексного лагранжиана

Если у вас есть сложное действие, вам нужно решить, что вам нужно, чтобы быть неподвижным. Это может быть а) действие, если его амплитуда постоянна; б) действие, если его фаза постоянна; в) амплитуда действия; г) фаза действия; д) реальная часть действия и т. д. В каждом из этих случаев это равносильно требованию стационарности некоторого реального действия, например, в случае в) можно выбрать действие, равное амплитуде «старого» сложного действия.

Так что же произойдет, если вам потребуется, скажем, чтобы и амплитуда, и фаза сложного действия были стационарными? Поскольку каждого из этих требований обычно достаточно для получения уравнений движения, оба этих требования вместе обычно дают переопределенную систему уравнений. Возможно, однако, что эта сверхдетерминированная система непротиворечива и имеет смысл, но в данный момент я не могу предложить пример.

1. Принцип стационарного действия для сложного действия$S_c=S_1+iS_2\in \mathbb{C}$эквивалентно 2 реальным принципам стационарного действия для действительной и мнимой частей,$S_1,S_2\in\mathbb{R}$. Другими словами, уравнения ЭЛ для$S_c$являются в точности уравнениями ЭЛ для$S_1$и уравнения ЭЛ для$S_2$. Возможно, удастся организовать уравнения EL для$S_c$как сложные уравнения, особенно если лагранжиан голоморфен.

2. В интеграле Фейнмана по траекториям$Z$, Действие$S$реально, по крайней мере, в формулировке Минковского. Однако при оценке квазиклассического приближения методом наискорейшего спуска обычно деформируется контур интегрирования в комплексную плоскость, что может привести к комплексным вкладам в$Z$. Стационарные точки на комплексной плоскости могут иметь, а могут и не иметь прямой физической интерпретации как решения (аналитическое продолжение) уравнений ЭЛ.