Кривизна Вселенной воображаемая?

Я не думаю, что имеет смысл определять воображаемый параметр кривизны.

Кривизна (и забудьте$\Omega$пока) описывает , как вы "вращаете" пространственные векторы в каждой точке, т.е. дает "вращение" по "старым" координатам, а также возможное "перемасштабирование" длин относительно "старых" координат. Таким образом, он фактически говорит вам, что «это направление преобразуется в то на эту величину, на эту величину и на ту другую величину» и т. д. для каждой точки пространства .

Вы хотите , чтобы результатом такого преобразования было реальное векторное пространство — без воображаемых компонентов — потому что это то, что имеет физический смысл. Помните, что это физика, поэтому, в конце концов, именно математика подчиняется физике, а не наоборот. Тот факт, что вы можете изобрести новую алгебру, не означает, что она физически полезна (т.е. применима в «реальном мире»), поэтому помните об этом, когда выбираете новые алгебры.

Теперь вернемся к$\Omega$. Помните, что это параметр плотности, поэтому вам придется объяснить нам, что для вас означает мнимая плотность, например, мнимое значение массовой плотности.

Параметр плотности$\Omega$является положительным действительным числом. Кривизна$k$нормируется на значения$-1$,$0$, или$+1.$Благодаря Фридману,$k$отрицателен, равен нулю или положителен в зависимости от того,$\Omega$меньше, равно или больше, чем$1$, соответственно. В связи с нормализацией$k$, точное значение$\Omega$из него не вычисляется. Как правило, все работает наоборот, используя данные о плотности для определения кривизны. Можно найти ненормализованное выражение для кривизны и посмотреть, как оно соотносится с$\Omega$, но формулы довольно сильно вложены в вывод.

Параметр плотности$\Omega$определяется как

$$\Omega:=\dfrac{8\pi G\rho}{3H^2}$$ где$G$гравитационная постоянная,$\rho$средняя плотность, а$H$– постоянная Хаббла. Можно представить это как функцию переменной$\rho$, который аппроксимируется на основе экспериментальных данных. С этой точки зрения воображаемый$\Omega$потребовалась бы воображаемая средняя плотность, и нет никакого физического смысла того, что это будет означать с точки зрения массы на единицу объема, и нет смысла отрицательной плотности.

В дифференциальной геометрии кривизна может принимать значение любого действительного числа. С чисто математической точки зрения я был бы удивлен, если бы кто-то не исследовал понятие комплексной кривизны, но это не общепринято в математике, не говоря уже о том, что нашел применение в физике. Если бы это было так, то нужно было бы переинтерпретировать результат Фридмана о взаимосвязи между$k$и$\Omega$, но я ожидаю, что воображаемый$k$будет соответствовать отрицательному$\Omega$из-за возведения в квадрат.

Существует понятие гиперболического пространства как сферы радиуса$i$, так как обычная сфера имеет радиус$1$, поскольку сфера параметризована как решение, заданное квадратичной формой, равной радиусу. Даже там это просто другой способ думать об отрицательной кривизне.

Как я уже говорил в ответ на другой вопрос, понятие комплексной кривизны действительно существует: см. Y. Martinez-Maure, Реальные и комплексные ежи, их симплектическая площадь, кривизна и эволюция . Автор говорит, что статья должна появиться в Journal of Symplectic Geometry.

Например, сложный круг с (комплексным) радиусом R имеет (комплексный) радиус кривизны, равный R (см. стр. 17).

Можно представить себе, что существует комплексная метрика, так что уничтожение оператора проверяет уравнения Дирака или Клейна-Гордона, связанные с этой метрикой, в то время как создание оператора проверяет эти же уравнения, но для сопряженной метрики.