Получение фотонного пропагатора

Как автор этого вопроса, я думаю, что смогу помочь. Я буду использовать те же обозначения, что и в исходном вопросе.

Начиная с уравнения

$$\left(-k^2g_{\mu\nu}+(1-\frac{1}{\xi})k_\mu k_\nu\right)D^{\nu\rho}(k)=i\delta^\rho_\mu\tag{1}$$

мы делаем Анзац

$$D^{\mu\rho}(k)=A g^{\mu\rho}+B k^\mu k^\rho. \tag{2}$$

Подставив этот анзац в уравнение$(1)$мы получаем

$$\left[-k^2 g_{\mu\nu}+\left(1-\frac{1}{\xi} \right)k_\mu k_\nu\right]\left[A g^{\nu\rho} +B k^\nu k^\rho\right]=i\delta^\rho_\mu.\tag{3}$$

(Вы упускаете фактор$i$с правой стороны$(3)$в вашем вопросе, но я поставлю его здесь.)

Что вам нужно сделать, не решить$A$и$B$изолированно, но на самом деле сравните коэффициенты в обеих частях уравнения.$(3)$. Расширив продукт и после небольшой алгебры, вы должны прийти к

$$A=-\frac{i}{k^2},\quad B=\frac{i}{k^4}(1-\xi),$$

который даст вам коэффициенты для обратного$(2)$.

Поскольку вы используете тензоры с греческими индексами, я хочу указать, что соглашение подразумевает, что$\bar D_{\nu\lambda}(k)=Ag_{\nu\lambda}+Bk_\nu k_\lambda$технически 16 уравнений, что более чем достаточно, чтобы выделить для$A$и$B$. Если$g_{\nu\lambda}$является метрикой и$k_\nu$является неоператорным тензором импульса, то оба члена в правой части должны быть симметричными, что означает, что у вас есть не более 10 уравнений (чем меньше переопределенных, тем лучше).

Теоретически, вы должны быть в состоянии изолировать$A$и$B$вводя различные компоненты$g$и$k$. Не зная, из чего состоят эти тензоры, я не могу помочь. Но я могу сказать вам, что это не тот случай, когда у меня слишком мало уравнений (на самом деле, я бы расстроился, если у меня слишком много уравнений).