Получение расширения Зоммерфельда путем интегрирования контуров (Ле Беллак, стр. 277)

Question

Получение расширения Зоммерфельда путем интегрирования контуров (Ле Беллак, стр. 277)

Физика
фермионы
аналитичность
температура
статистическая механика
Дирак-дельта-распределения

к-селектрайд

В книге Ле Беллака по статистической физике он выводит разложение Зоммерфельда с помощью контурного интеграла.

Идея состоит в том, чтобы разложить интегралы типа $I(\beta)\equiv \int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \frac{\varphi'(\epsilon)}{e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1}$ . Интегрировать по частям и расширять $\varphi(\epsilon)$

ф (ϵ) "=" \sum_{м "=" 0}^{\infty} \frac{(ϵ - мю)^{м}}{м!} (\frac{г^{м} ф}{г ϵ} |_{ϵ "=" мю})

$\varphi(\epsilon)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\epsilon-\mu)^{m}}{m!}\left(\frac{d ^{m}\varphi}{d \epsilon}\Bigg |_{\epsilon=\mu}\right)$

Сделайте замену переменных для записи $I(\beta)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\beta^{-m}\varphi^{(m)(\mu)}}{m!}I_{m}$ где $I_{m}=\int_{-\infty}^{\infty}dx\, \frac{x^{m}e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}$ .

Идея затем оценить $I_m$ заключается в рассмотрении следующего интеграла

Дж (п) "=" \int_{- \infty}^{\infty} г Икс \frac{е^{я п Икс}}{(е^{Икс} + 1) (е^{- Икс} + 1)} "=" \sum_{м "=" 0}^{\infty} \frac{(я п)^{м}}{м!} \int_{- \infty}^{\infty} г Икс \frac{{Икс}^{м}}{(е^{Икс} + 1) (е^{- Икс} + 1)} "=" \sum_{м "=" 0}^{\infty} \frac{(я п)^{м}}{м!} я_{м}

$J(p)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\, \frac{e^{ipx}}{(e^{x}+1)(e^{-x}+1)}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(ip)^{m}}{m!}\int_{-\infty}^{\infty}\, dx \frac{x^{m}}{(e^{x}+1)(e^{-x}+1)}= \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(ip)^{m}}{m!}I_{m}$

Интеграция $J(p)$ дает $J(p)=\frac{2\pi pe^{-\pi p}}{1-e^{-2\pi p}}=1-\frac{1}{6}(\pi p)^2+\ldots$ следовательно,

я (β) "=" ф (мю) + \frac{π^{2}}{6} (к_{Б} Т)^{2} ф^{(2)} (мю) + О (к_{Б} Т^{4})

$I(\beta)= \varphi(\mu) + \frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\varphi^{(2)}(\mu)+O(k_{B}T^{4})$

Пока все хорошо, моя проблема возникает, когда он записывает расширение самого распределения Ферми-Дирака как

\frac{1}{е^{β (ϵ - мю)} + 1} ≃ Θ_{ЧАС} (мю - ϵ) - \frac{π^{2}}{6} (к_{Б} Т)^{2} {дельта}^{'} (ϵ - мю) + О (к_{Б} Т^{4})

$\frac{1}{e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1}\simeq \Theta_{H}(\mu-\epsilon)-\frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\delta'(\epsilon-\mu)+O(k_{B}T^{4})$

что должно быть верным под интегралом. Кажется, что это имитирует расширение производящей функции, по крайней мере, когда речь идет о знаках. Если мы рассмотрим определение разложения Зоммерфельда из Википедии, мы получим формулу в виде

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{ЧАС (ε)}{е^{β (ε - мю)} + 1} г ε "=" \int_{- \infty}^{мю} ЧАС (ε) г ε + \frac{π^{2}}{6} {(\frac{1}{β})}^{2} {ЧАС}^{'} (мю) + О {(\frac{1}{β мю})}^{4}

$\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon = \int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}\left(\frac{1}{\beta}\right)^2H^\prime(\mu) + \mathrm{O} \left(\frac{1}{\beta\mu}\right)^4$

Если мы попробуем форму Ле Беллака,

я (β) ≃ \int_{0}^{\infty} г ϵ ф^{'} (ϵ) [Θ_{ЧАС} (мю - ϵ) - \frac{π^{2}}{6} (к_{Б} Т)^{2} {дельта}^{'} (ϵ - мю) + О (к_{Б} Т^{4})] "=" ф (мю) - \frac{π^{2}}{6} (к_{Б} Т)^{2} \underset{К}{\underset{⏟}{\int_{0}^{\infty} г ϵ ф^{'} (ϵ) {дельта}^{'} (ϵ - мю)}}

$I(\beta)\simeq\int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \varphi'(\epsilon)\left[\Theta_{H}(\mu-\epsilon)-\frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\delta'(\epsilon-\mu)+O(k_{B}T^{4}) \right] \\ =\varphi(\mu)-\frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\underbrace{\int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \varphi'(\epsilon)\delta'(\epsilon-\mu)}_{K}$

но интегрируя $K$ по частям дает

К "=" {[дельта (ϵ - мю) ф^{'} (ϵ)]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} г ϵ ф^{″} (ϵ) дельта (ϵ - мю) "=" - ф^{″} (мю)

$K=\left[\delta(\epsilon-\mu)\varphi'(\epsilon) \right]_{0}^{\infty}- \int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \varphi''(\epsilon)\delta(\epsilon-\mu)=-\varphi''(\mu)$

Так что знаки работают, и отрицательный знак, вероятно, не опечатка. С другой стороны, следующий член разложения будет $+\frac{7\pi^4}{360}(k_{B}T)^{4}\delta^{(3)}(\epsilon-\mu)$ которое при интегрировании принимало бы отрицательный знак.

Переменное поведение знаков, насколько я могу судить, связано с мнимой единицей, которая была включена в экспоненту для контурного интеграла. Очень похожий подход делается на стр. 255 следующих примечаний , за исключением того, что в экспоненте нет мнимой единицы. Кроме того, расширение предназначено для работы только на $\varphi$ вместо фактической коррекции распределения Ферми-Дирака для малых $T$ .

Мои вопросы заключаются в следующем:

Верны ли поправки к распределению Ферми-Дирака, данные Ле Беллаком, для всех порядков? Кажется, они работают для условий 0-го и 1-го порядка.
Предполагая, что (1) верно, откуда мы «знаем» или как рассуждаем, что разложение производящей функции в ряд даст поправки к распределению Ферми-Дирака? Потому что мне казалось, что производящая функция должна была только определять $I_m$ коэффициенты.

Ответы (1)

Получение расширения Зоммерфельда путем интегрирования контуров (Ле Беллак, стр. 277)

Qмеханик · Answer 1

И) Предварительные. Сначала сформулируем в явном виде разложение Зоммерфельда на все порядки. С этой целью пусть

\begin{matrix} (1) & Б (Икс) "=" \frac{Икс}{е^{Икс} - 1} "=" \sum_{м "=" 0}^{\infty} \frac{Б_{м}}{м!} {Икс}^{м} "=" 1 - \frac{Икс}{2} + \frac{{Икс}^{2}}{12} - \frac{{Икс}^{4}}{720} + \frac{{Икс}^{6}}{30240} + О ({Икс}^{8}) \end{matrix}

$\tag{1} B(x)~:=~\frac{x}{e^x-1}~=~\sum_{m=0}^{\infty}\frac{B_m}{m!}x^m~=~1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\frac{x^6}{30240}+{\cal O}(x^8)\qquad$

— производящая функция для чисел Бернулли $^1$ . Позволять

\hat{А} (Икс) "=" \frac{Икс / 2}{грех \frac{Икс}{2}} "=" 2 Б (\frac{Икс}{2}) - Б (Икс) "=" \sum_{м "=" 0}^{\infty} \frac{{\hat{А}}_{м}}{м!} {Икс}^{м} "=" \hat{А} (- Икс)

$\widehat{A}(x)~:=~\frac{x/2}{\sinh\frac{x}{2}}~=~2B(\frac{x}{2})-B(x)~=~\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\widehat{A}_m}{m!}x^m = \widehat{A}(-x)$

\begin{matrix} (2) & "=" 1 - \frac{{Икс}^{2}}{24} + \frac{7 {Икс}^{4}}{5760} - \frac{31 {Икс}^{6}}{967680} + О ({Икс}^{8}) \end{matrix}

$\tag{2} ~=~1-\frac{x^2}{24}+\frac{7x^4}{5760}-\frac{31x^6}{967680}+{\cal O}(x^8)$

быть так называемым $A$ -функция крыши с коэффициентами

\begin{matrix} (3) & {\hat{А}}_{м} "=" (2^{1 - м} - 1) Б_{м}, м е Н_{0}, \end{matrix}

$\tag{3} \widehat{A}_m~:=~(2^{1-m}-1)B_m, \qquad m~\in~\mathbb{N}_0,$

дается через числа Бернулли. Позволять

\begin{matrix} (4) & ф (ε) "=" \frac{1}{е^{β ε} + 1} \end{matrix}

$\tag{4} f(\varepsilon)~:=~\frac{1}{e^{\beta\varepsilon}+1}$

будет голым распределением Ферми-Дирака без химического потенциала $\mu$ . В этом ответе мы по техническим причинам будем работать с (минус) производной

\begin{matrix} (5) & - ф^{'} (ε) "=" \frac{β}{4 {чушь}^{2} \frac{β ε}{2}} > 0, \end{matrix}

$\tag{5} -f^{\prime}(\varepsilon) ~=~\frac{\beta}{4\cosh^2 \frac{\beta\varepsilon}{2}}~>~0,$

потому что вопреки распределению Ферми-Дирака $f(\varepsilon)$ сама, производная $f^{\prime}(\varepsilon)$ экспоненциально подавляется для $\varepsilon \to -\infty$ . (В качестве дополнительного бонуса производная $f^{\prime}(\varepsilon)=f^{\prime}(-\varepsilon)$ оказывается четной функцией.)

II) Функционал Зоммерфельда. Определим функционал Зоммерфельда как

\begin{matrix} (6) & я [Φ] "=" - \int_{р} г ε ф^{'} (ε - мю) Φ (ε) . \end{matrix}

$\tag{6} I[\Phi] ~:=~-\int_{\mathbb{R}} \! d\varepsilon~f^{\prime}(\varepsilon-\mu) \Phi(\varepsilon).$

энергии $\varepsilon$ с $|\varepsilon-\mu|\gg 1/\beta$ фактически не дают вклада в интеграл (6). Здесь $\Phi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ является реальной аналитической тестовой функцией

\begin{matrix} (7) & Φ (ε) "=" \sum_{м "=" 0}^{\infty} \frac{Φ^{(м)} (мю)}{м!} (ε - мю)^{м} . \end{matrix}

$\tag{7} \Phi(\varepsilon)~=~\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Phi^{(m)}(\mu)}{m!}(\varepsilon-\mu)^m.$

Остерегайтесь того, что аналитичность (7) является математической абстракцией, которая почти никогда не может быть оправдана в реальных физических приложениях. Предположим далее, что подынтегральная функция (6) имеет функцию

\begin{matrix} (8) & ε \mapsto - ф^{'} (ε) \sum_{м "=" 0}^{\infty} \frac{| Φ^{(м)} (мю) |}{м!} | ε - мю |^{м} \geq 0 \end{matrix}

$\tag{8}\varepsilon~\mapsto~ -f^{\prime}(\varepsilon) \sum_{m=0}^{\infty}\frac{|\Phi^{(m)}(\mu)|}{m!}|\varepsilon-\mu|^m~\geq~0$

как интегрируемая по Лебегу мажоранта, такая, что (согласно теореме Лебега о мажорируемой сходимости ) порядок интегрирования и суммирования в уравнении. (6) можно поменять местами

\begin{matrix} (9) & я [Φ] "=" - \sum_{м "=" 0}^{\infty} \frac{Φ^{(м)} (мю)}{м!} \int_{р} г ε (ε - мю)^{м} ф^{'} (ε - мю) . \end{matrix}

$\tag{9} I[\Phi]~=~-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Phi^{(m)}(\mu)}{m!}\int_{\mathbb{R}} \! d\varepsilon~ (\varepsilon-\mu)^m f^{\prime}(\varepsilon-\mu) .$

Существование интегрируемой по Лебегу мажоранты (8) является относительно мягким техническим предположением, которое почти всегда выполняется в реальных физических приложениях.

III) Расширение Зоммерфельда. Интегралы в уравнении (9) четко определены и могут быть вычислены как вещественными, так и комплексными методами, ср. исх. 1, 2 и 3. Расширение Зоммерфельда для всех порядков становится

\begin{matrix} (10) & я [Φ] "=" \sum_{м "=" 0}^{\infty} {(\frac{2 π я}{β})}^{м} \frac{{\hat{А}}_{м}}{м!} Φ^{(м)} (мю), \end{matrix}

$\tag{10} I[\Phi]~=~\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{2\pi i}{\beta}\right)^{m} \frac{\widehat{A}_m}{m!}\Phi^{(m)}(\mu),$

Мы рассмотрим экв. (10) как основной результат.

IV) Заманчиво формально переписать уравнение. (10) как

\begin{matrix} (11) & я [Φ] "=" \hat{А} (\frac{2 π я}{β} \frac{г}{г мю}) Φ (мю), \end{matrix}

$\tag{11}I[\Phi] ~=~ \widehat{A}\left(\frac{2\pi i}{\beta} \frac{d}{d\mu}\right) \Phi(\mu),$

или как

\begin{matrix} (12) & - ф^{'} (ε - мю) "=" \sum_{м "=" 0}^{\infty} {(\frac{2 π}{я β})}^{м} \frac{{\hat{А}}_{м}}{м!} {дельта}^{(м)} (ε - мю) . \end{matrix}

$\tag{12} -f^{\prime}(\varepsilon-\mu) ~=~ \sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{2\pi }{i\beta}\right)^{m} \frac{\widehat{A}_m}{m!}\delta^{(m)}(\varepsilon-\mu).$

Формальное интегрирование уравнения. (12) сочин. $\varepsilon$ урожаи

\begin{matrix} (13) & ф (ε - мю) "=" θ (мю - ε) - \sum_{м "=" 1}^{\infty} {(\frac{2 π}{я β})}^{м} \frac{{\hat{А}}_{м}}{м!} {дельта}^{(м - 1)} (ε - мю) . \end{matrix}

$\tag{13} f(\varepsilon-\mu) ~=~\theta(\mu-\varepsilon)- \sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{2\pi}{i\beta}\right)^{m} \frac{\widehat{A}_m}{m!}\delta^{(m-1)}(\varepsilon-\mu).$

уравнения (12) и (13) являются, строго говоря, математическим бредом. О них следует думать только как о мнемонике, чтобы вспомнить уравнение. (10).

V) Наконец, давайте ответим на вопросы ОП. Хотя, с одной стороны, разложение Зоммерфельда (10) математически точно для всех порядков (применительно к приведенной выше реальной аналитической тестовой функции $\Phi$ ), с другой стороны, в физических приложениях тестовая функция $\Phi$ часто не может быть настоящим аналитиком.

Пример: $I[\phi]$ может быть числом частиц (на объем) системы, а производная $\Phi^{\prime}(\varepsilon)$ может быть плотность $g(\varepsilon)$ уровней энергии (в расчете на объем). Нет никаких физических причин ожидать $\Phi$ быть настоящим аналитиком.

Следовательно, в физических приложениях мы доверяем только первым нескольким слагаемым в разложении Тейлора (7) с $|\varepsilon-\mu|\ll \mu$ . Поэтому эффективная поддержка $f^{\prime}(\varepsilon-\mu)$ в интеграле (6) следует ограничить этим интервалом. Это гарантировано в низкотемпературном режиме $1/\beta\ll\mu$ . В этом низкотемпературном пределе $1/\beta\ll\mu$ , первые несколько слагаемых в разложении Тейлора (7) эффективно приводят к первым нескольким слагаемым в разложении Зоммерфельда (10).

Использованная литература:

Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела, 1976, Приложение C, стр. 760-761.
М. Ле Беллак, Ф. Мортессан и Г. Г. Батруни, Равновесная и неравновесная статистическая термодинамика, 2004 г., раздел 5.2.2, с. 276-279.
Даниэль Аровас, Конспект лекций по термодинамике и статистической механике, 2012 г., раздел 5.8.5, с. 255-257. Файл в формате pdf доступен здесь .

--

$^1$ Остерегайтесь немного отличающихся определений чисел Бернулли в литературе.

Спасибо за ответ. У меня был только вопрос, прежде чем я отмечу ваш как ответ. Как вы получили уравнение 12? Я мог бы, вероятно, вывести форму, угадывая и проверяя, но мне было интересно, есть ли в этом что-то большее.
уравнение (12) следует формально, переписав уравнение. (10) с дельта-функциями, интегрированием по частям и, наконец, удалением тестовой функции $\Phi$ с обеих сторон. Вы действительно спрашиваете об экв. (10)?
Нет, моя трудность связана с только что описанным вами шагом, переписыванием с помощью дельта-функций. Делает ли он замену типа $\phi^{(m)}(\mu) \to \int \phi^{(m)}(\epsilon) \delta(\epsilon- \mu$ ?
Да. В частности, мы должны предположить, что тестовая функция $\Phi\in{\cal S}(\mathbb{R})$ принадлежит пространству Шварца ${\cal S}(\mathbb{R})$ .
Последний вопрос, в интеграции от 12 до 13, это пределы $\epsilon \to \infty$ ? На моем конце я получаю $f(\epsilon-\mu)=-\int_{\epsilon}^{\infty}d\epsilon \delta(\epsilon-\mu)-\sum...=-\theta(\mu-\epsilon)-\sum...$ . Я не уверен, в чем моя ошибка, чтобы примириться со знаками в 13.
$f(\varepsilon-\mu)-f(-\infty)=-\int_{-\infty}^{\varepsilon}\! d\varepsilon^{\prime} ~ \delta(\varepsilon^{\prime}-\mu)+\ldots$ , или эквивалентно, $f(\varepsilon-\mu)-f(\infty)=+\int_{\varepsilon}^{\infty}\!d\varepsilon^{\prime} ~\delta(\varepsilon^{\prime}-\mu)+\ldots$
Учитывая то, что я написал в ОП. У меня есть это $I(\beta)=-\int_0^\infty d\varepsilon\, \phi(\varepsilon)f'(\varepsilon-\mu)$ и аналогично $I(\beta)=\sum_{m=0}\frac{\beta^{-m}}{m!}\phi^{(m)}(\mu)I_m=\sum_{m=0}(-k_BT)^{m}\frac{I_m}{m!}\int_0^\infty d\varepsilon \phi(\varepsilon)\delta^{(m)}(\varepsilon-\mu)$ Предлагая, что $-f'(\varepsilon-\mu)=\sum_{m=0}(-\frac{1}{\beta})^m\frac{I_m}{m!}\delta^{(m)}( \varepsilon -\mu)$ , но $I_m$ строго положительны, поэтому даже после интегрирования у меня нет правильного знака, если только я что-то не упустил при интегрировании производных дельта-функций
То есть мое расширение будет $f(\varepsilon-\mu) = \theta(\mu -\varepsilon) + \sum_{m=1}(\frac{-1}{\beta})^{m} \frac{I_m}{m!}\delta^{(m-1)}(\varepsilon-\mu)=\theta(\mu -\varepsilon)+ \frac{\pi^2}{6}(k_BT)^2\delta'(\varepsilon-\mu)+\ldots$

Получение расширения Зоммерфельда путем интегрирования контуров (Ле Беллак, стр. 277)

к-селектрайд

Ответы (1)

Qмеханик

к-селектрайд

Qмеханик

к-селектрайд

Qмеханик

к-селектрайд

Qмеханик

к-селектрайд

к-селектрайд

Фермионные граничные условия при конечной температуре

Химический потенциал как функция температуры

Распределение Ферми-Дирака в высокотемпературном пределе

Предел распределения Ферми-Дирака при стремлении TTT к нулю

Число g(T)g(T)g(T) релятивистских степеней свободы в зависимости от температуры TTT

Статистика Ферми-Дирака против статистики Максвелла Больцмана в атомном возбуждении лазерных систем

Термодинамическое определение энтропии, описывающее обратимые процессы

Можно ли нагреть парожидкостную смесь, пока она полностью не сконденсируется в жидкость?

Управляемый гармонический осциллятор с тепловой силой Ланжевена. Как извлечь температуру из x(t)x(t)x(t)?

Как понять температуры разных степеней свободы?