Понимание поведения взаимодействующего бозе-газа

1) Во-первых, обратите внимание, что невзаимодействующий бозе-газ является идеализацией. Если бы газ действительно был невзаимодействующим, то его было бы невозможно охладить с помощью испарительного охлаждения (или любого другого метода, который удаляет энергию и требует повторного уравновешивания газа).

2) В бозе-газе короткодействующая часть взаимодействия должна быть отталкивающей (иначе газ будет коллапсировать при низкой температуре). Типичная модель представляет собой отталкивающую дельта-функцию.

$$V(x_1,x_2)=\frac{4\pi a}{m} \delta(x_1-x_2)$$ определяется длиной рассеяния s-волны $a$. Действительно, для разбавленного газа это не модель, а систематическое описание низкоэнергетических свойств.

3) В невзаимодействующем газе бозе-конденсация происходит при температуре Эйнштейна

$$T_c = \frac{2\pi}{m}\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}.$$ Ведущий сдвиг из-за (отталкивающего, $a>0$) взаимодействия $$\Delta T_c \simeq 1.3 an^{1/3} T_c$$ что даже в сильно взаимодействующем газе, таком как гелий, не является большим сдвигом.

4) Систематическое изучение теории возмущений в$a$возвращается к Боголюбову. Он нашел, например, что закон дисперсии квазичастицы в бозе-конденсированной жидкости имеет вид

$$\epsilon_p = \frac{1}{2m}\sqrt{(p^2+8\pi an)^2-(8\pi an)^2}$$ который плавно интерполирует моду Голдстоуна при низких $p$, и невзаимодействующие атомы на больших $p$.

5) И действительно, как отмечено ниже, вы можете взять взаимодействие в (2) и рассматривать в приближении среднего поля. Это приводит к нелинейному уравнению Шредингера (уравнению Гросса-Питаевского) для волновой функции конденсата. Это уравнение можно использовать для изучения профилей облаков, коллективных мод и т. д.