Как работает проекторный метод Монте-Карло?

Оператор проектора дается,

$$\begin{equation} \hat{P} = e^{-\tau \hat{H}} \end{equation}$$

Мы должны показать, что$| \phi^{m} \rangle = (\hat{P})^{m} | \phi \rangle$в большом$m$предел дает,$| \phi^{m} \rangle = | \psi \rangle$.

$$\begin{align} | \phi^{m} \rangle = (\hat{P})^{m} | \phi \rangle & = \displaystyle\lim_{m \to \infty} \sum_{\alpha} e^{-m \tau \hat{H}} | \alpha \rangle \langle \alpha | \phi \rangle \\ & = \displaystyle\lim_{m \to \infty} \sum_{\alpha} e^{-m \tau E_{\alpha}} | \alpha \rangle \langle \alpha | \phi \rangle \\ & = | \psi \rangle \end{align}$$

В пределе больших$m$и исправлено$\tau$, проекция сотрет все состояния с высокой энергией и только основное состояние (самая низкая энергия, т.е.$E_{0}$) выживет. Мы предположили, что основное состояние является невырожденным (единственным!). В случае вырожденного вакуума происходит некоторое критическое замедление.