Понимание QFT

Чтобы ответить на ваши конкретные вопросы:

Предполагается ли теперь, что этот оператор Гамильтона применяется в уравнении Шрёдингера в КМ?

Да. Этот оператор описывает эволюцию квантового состояния точно так же, как вы привыкли. А именно, состояние в любой конкретный момент времени является вектором в гильбертовом пространстве, скажем$\lvert\text{state}\rangle$, и состояние какое-то время$t$позже$e^{-iHt}\lvert\text{state}\rangle$. Это поднимает вопрос...

В каком векторном пространстве будет действовать этот оператор Гамильтона?

В общем случае гильбертово пространство КТП представляет собой комплексную оболочку пространства конфигураций поля. Например, для реального скалярного поля конфигурации поля — это все функции из пространства$\mathbb{R}^d$(не пространство-время, просто пространство)$\mathbb{R}$. Символически набор конфигураций поля$B$является

$$B=\{\phi\,|\,\phi:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}\}.$$

Теперь возьми$B$быть формальной основой для векторного пространства$\mathcal{H}$. Это гильбертово пространство КТП. Так что если$\phi_1$и$\phi_2$две разные функции из$\mathbb{R}^d$к$\mathbb{R}$, гильбертово пространство будет включать такие состояния, как$\vert\phi_1\rangle$,$\vert\phi_2\rangle$, и$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$. (Обратите внимание, что это не так,$\alpha\vert\phi\rangle=\vert\alpha\phi\rangle$, и дело не в этом$\vert\phi_s\rangle+\vert\phi_2\rangle=\vert\phi_1+\phi_2\rangle$. Линейные комбинации, такие как$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$являются формальными . Также обратите внимание, что мы берем разные элементы$B$быть формально ортогональным. Так что если$\phi_1\neq\phi_2$у нас есть$\langle\phi_2\vert\phi_1\rangle=0$.) Это гильбертово пространство$\mathcal{H}$действительно является гильбертовым пространством, на котором действует оператор Гамильтона. Так, например, в какой-то момент состояние Вселенной может быть$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$. Затем состояние Вселенной какое-то время$t$позже будет

$$e^{-iHt}(\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle).$$ Так же, как вы привыкли.

(Можно рассматривать наличие гильбертова пространства такой формы как определение того, что такое КТП . В конце концов, это в названии: квантовая теория поля — это просто квантовая теория, в которой состояния являются суперпозициями конфигураций полей, а не, скажем, суперпозиции конфигураций частиц. Все другие объекты/свойства, о которых обычно говорят в курсе КТП, такие как лагранжианы, симметрия Лоренца и т. д., являются всего лишь дополнениями. Действительно, существуют правильные КТП без формулировок Лагранжа или без симметрии Лоренца, и поэтому на.)

Когда и как появится процесс создания-уничтожения частиц?

Теперь у нас есть гильбертово пространство$\mathcal{H}$, и у нас есть для этого основа,$B$. Как и в любом векторном пространстве, существует множество вариантов базиса для$\mathcal{H}$. Основа$B$оказывается не единственной (и даже не самой) полезной основой. Помните, что в одночастичном КМ наряду с позиционным базисом$\{\vert x\rangle\}_{x\in\mathbb{R}}$, общей основой для гильбертова пространства является базис собственных состояний гармонического осциллятора:$\{\vert0\rangle,a^\dagger\vert0\rangle,a^\dagger a^\dagger\vert0\rangle,\ldots\}$. В КТП часто говорят о базисе «пространства Фока», который аналогичен базису собственных состояний гармонического осциллятора, с которым вы знакомы из одночастичной КМ.

Элементы$B$иметь физическую интерпретацию конфигураций полей. С другой стороны, элементы базиса Фока имеют физическую интерпретацию частиц. Эти две базы для$\mathcal{H}$связаны, конечно, чем-то вроде унитарного преобразования. Итак, состояния из базиса Фока типа$a^\dagger_p a^\dagger_q\vert 0\rangle$можно записать как «сумму» состояний конфигурации поля, например$\vert \phi\rangle$. И состояния конфигурации поля, такие как$\vert \phi_1\rangle$или$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$можно записать как «суммы» базисных состояний Фока. На практике путь туда и обратно между этими двумя базами осуществляется через отношение

$$\hat{\phi}(x)=\int\!\frac{\mathrm{d}^dp}{(2\pi)^d}\,\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_pe^{-ip\cdot x}+a^\dagger_pe^{ip\cdot x}),$$ где $\hat{\phi}(x)$являются полевыми операторами, операторами которых являются элементы $B$являются собственными состояниями. (например, оператор $\hat{\phi}(x)$действующий на $\vert\phi_1\rangle\in B$дает $\hat{\phi}(x)\vert\phi_1\rangle=\phi_1(x)\vert\phi_1\rangle.$)

Поймите, что все вышесказанное — это всего лишь грубый набросок. Но это набросок, который вы должны держать в голове, изучая QFT. Теперь немного редактирования. Многие учебники и курсы плохо объясняют эти основы. На самом деле педагогика КТП изобилует такими плохими концепциями, как «вторичное квантование», и ложными утверждениями вроде «КТП — это КМ, совместимая со специальной теорией относительности», «Уравнения Клейна-Гордона и Дирака — это релятивистские версии уравнения Шрёдингера», «В В КТП мы используем уравнение Гейзенберга, а не уравнение Шредингера», «Мы заменяем волновую функцию из КМ оператором поля», «В КТП нет волновых функций» и миллион других.

Быстрая и грязная версия заключается в том, что вы моделируете все частицы данного типа как возбуждения ряда квантовых гармонических осцилляторов:

$$H = \int\frac{\mathrm{d}^{3}\vec{p}}{(2\pi)^3} E_{\vec{p}} \left(a_{\vec{p}}^{\dagger}a_{\vec{p}} + \frac{1}{2}\right)$$

так что частица импульса$\vec{p}$было бы$|1\rangle$состояние гармонического осциллятора импульса$\vec{p}$. Примечание$E_{\vec{p}}^2 - \vec{p}^2 = m^2$в натуральных единицах и$E_{\vec{p}}$– угловая частота по соотношению де Бройля. Чтобы упростить это, вы определяете вещь, называемую «оператором поля», которая позволяет вам работать в позиции, а не в импульсном пространстве:

$$\phi = \int\frac{\mathrm{d}^{3}\vec{p}}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\vec{p}}}\left(a_{\vec{p}} \mathrm{e}^{-ipx} + a^{\dagger}_{\vec{p}} \mathrm{e}^{ipx}\right)$$

где$p$и$x$без стрелок указывает на четыре вектора и четыре позиции. Если вы подключите это и проведете алгебру, вы получите стандартный теоретико-полевой гамильтониан для свободного (скалярного) поля:

$$H = \int \mathrm{d}^{3}\vec{x}\left(\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^2 + \left(\nabla\phi\right)^2 - m^2\phi^2\right)$$

Гильбертово пространство для этого гамильтониана — это именно то, что вы ожидаете от набора гармонических осцилляторов:

$$\mathcal{H} = \bigotimes_{\vec{p}}\mathcal{H}_{\vec{p}}$$

где$\mathcal{H}_{\vec{p}}$является гильбертовым пространством для одного гармонического осциллятора, и в выражении для гамильтониана мы действительно опустили несчетный ряд$\otimes \mathbb{I} \otimes$до и после каждого лестничного оператора. Иногда люди называют это пространством Фока, но на самом деле это не пространство Фока. Он имеет аналогичные свойства, но его конструкция сильно отличается [1].

Для динамики вы используете картину Гейзенберга, и, в частности, вы используете уравнение Гейзенберга ( не уравнение Шрёдингера):

$$\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} = i\left[H,\phi\right] \\ \frac{\mathrm{d}\pi}{\mathrm{d}t} = i\left[H,\pi\right]$$

где$\pi = \frac{\partial\phi}{\partial t}$— импульс, сопряженный с полем, определяемый обычным образом из лагранжиана. Опять же, продираясь через алгебру, вы обнаружите, что поле подчиняется уравнению Клейна-Гордона:

$$\left(\Box + m^2\right)\phi = 0$$

Естественно, это довольно странное заявление о Вселенной. Почему все частицы являются возбуждением гармонического осциллятора? Является ли это просто приближением, как многие вещи в физике, которые моделируются гармоническими осцилляторами, или происходит что-то более фундаментальное?

Очевидно, ответ состоит в том, что есть нечто более фундаментальное. Чтобы увидеть это, вам нужно взглянуть на дифференциально-геометрическую структуру пространственно-временного многообразия и, в частности, на различные представления его группы изотропии (группы Лоренца). При этом вы видите, что картина позиционного пространства является естественной отправной точкой и удивительным образом превращается в гармонические осцилляторы, когда вы выполняете преобразование Фурье. По сути, это истинный математический формализм канонического квантования.

Я с удовольствием расскажу о технических деталях этой конструкции, если хотите (она также объясняет векторные поля и спинорные поля, чего нет в приведенном выше подходе), но это в основном представляет математический и философский интерес, а не что-либо практическое с расчетами. (Это также полезно, если вы хотите взглянуть на унификацию и прочее, я полагаю.)

---

[1]: В частности,$\mathcal{H}$поставляется с уже встроенной идеей неразличимости, потому что если вы собираетесь называть состояние$|2\rangle$гармонического осциллятора двухчастичное состояние (где обе имеют одинаковый импульс), уже нет понятия «какая частица 1, а какая 2».