Понимание уравнения Дирака

Я читаю книгу по физике, где уравнение Дирака вводится в виде:

$$\left[c \boldsymbol{\alpha} \cdot\left(\boldsymbol{p}+\frac{e \boldsymbol{A}}{c}\right)-e \phi+\beta m c^{2}\right] \Psi=\mathrm{i} \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial \mathrm{t}}$$ где $$\boldsymbol{\alpha}_{k}=\left[\begin{array}{cc} 0_{2} & \sigma_{k} \\ \sigma_{k} & 0_{2} \end{array}\right], \quad \beta=\left[\begin{array}{cc} \mathbb{I}_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & -\mathbb{I}_{2} \end{array}\right].$$ Затем автор хочет показать решения для постоянного магнитного поля с$\phi\equiv0$. Затем он пишет: $$\left[\begin{array}{ll} m c^{2} & c \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\pi} \\ c \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\pi} & -m c^{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \psi_{u} \\ \psi_{l} \end{array}\right]=E\left[\begin{array}{l} \psi_{u} \\ \psi_{l} \end{array}\right]$$ Нигде не объясняя, что$\boldsymbol{\pi}$есть, однако я вижу, что он должен быть подключен к$\boldsymbol{p}$. Затем он формулирует следующее уравнение, не объясняя, откуда оно взялось: $$\begin{equation}(\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\pi})^{2}=\pi^{2}+i \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\pi} \times \boldsymbol{\pi}\tag{*} \end{equation}$$ И я не знаю, почему эти условия равны. Может кто-нибудь объяснить

1. что$\boldsymbol{\pi}$точно?

2. Откуда результат в ур.$(*)$родом из?