Потенциал Коулмана-Вайнберга: резюме на 2 циклах?

Question

Потенциал Коулмана-Вайнберга: резюме на 2 циклах?

Физика
диаграммы фейнмана
1pi-эффективное действие
квантовая теория поля
теория эффективного поля

ззз

Скажем, мы хотим вычислить потенциал Коулмана-Вайнберга в двух петлях.

Общая стратегия, как мы знаем, заключается в расширении поля $\phi$ вокруг некоторого фонового классического поля $\phi \rightarrow \phi_b + \phi$ , и выполните интеграл по путям по квантовой части поля, $\phi$ .

Мы можем получить эффективное действие, выполнив интеграл по путям, что-то вроде уравнения 42 в этой ссылке .

Есть 2 способа сделать это в 1 цикле: мы можем либо оценить функциональный определитель, либо сделать классическую вещь Коулмана-Вайнберга, когда мы суммируем все диаграммы, которые мы получаем, вставляя любое количество фоновых полей. $\phi_b^2$ в петлевой интеграл. Это экв. (56) той же ссылки еще раз .

Мой вопрос: почему нам не нужно делать это пересуммирование по вставкам фонового поля в 2 цикла? Например, в этом (вполне стандартном) справочнике , а также в главе 11 у Пескина и Шредера авторы вроде бы утверждают, что вклад 2 петель в интеграл по путям — это просто вакуумные диаграммы «восходящего солнца» и «цифры 8». , а суммирование по классическим вставкам поля даже не упоминается.

Что мне не хватает?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Чтобы дать некоторые подробности, в теории возмущений каждая диаграмма, вносящая вклад в интеграл по путям, является пространственным интегралом некоторой функциональной производной, действующей на интеграл по путям в свободном поле с источником: петлевая диаграмма с n вставками внешнего поля $\phi_b$ это термин:

{(ф_{б}^{2} \int д Икс {(\frac{дельта}{дельта Дж (Икс)})}^{2})}^{н} Z_{0} [Дж]

$\left( \phi_b^2 \int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^2 \right)^n Z_0[J]$

2 петли цифра 8 это

\int г Икс {(\frac{дельта}{дельта Дж (Икс)})}^{4} Z_{0} [Дж]

$\int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^4 Z_0[J]$

Диаграммы с двумя петлями, которые, по-видимому, исключаются из цитированных выше статей, представляют собой такие вклады, как

{(ф_{б}^{2} \int д Икс {(\frac{дельта}{дельта Дж (Икс)})}^{2})}^{н} \int г Икс {(\frac{дельта}{дельта Дж (Икс)})}^{4} Z_{0} [Дж]

$\left( \phi_b^2 \int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^2 \right)^n\int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^4 Z_0[J]$

Мне кажется, что эти члены действительно возникнут при экспоненциальном разложении взаимодействующего лагранжиана, поэтому представляется, что пересуммирование по $n$ , как и в случае с 1 петлей, по-прежнему необходимо. Где моя ошибка?

ззз

@Qmechanic, спасибо за редактирование, но статья в Википедии, на которую вы ссылаетесь, похоже, определяет потенциал Коулмана Вайнберга как потенциал лагранжиана КЭД, однако в классической статье Коулмана и Вайнберга они применяют свой анализ также к более простым скалярным теориям поля. Здесь я явно имею в виду такой потенциал для скалярной теории поля.

Qмеханик

Привет @bechira: Хорошо, снова удалил ссылку на вики . Рассмотрите возможность добавления дополнительных сведений, чтобы сделать сообщение более доступным. Также рассмотрите возможность добавления автора, названия и т. д. ссылок, чтобы ссылки можно было восстановить в случае их порчи.

Любош Мотл

Бечира, во всех случаях просто записывают все диаграммы Фейнмана с соответствующими внешними линиями, содержащими разрешенные вершины. Если вставки равны нулю, они либо гарантированно исчезнут, либо предполагается, что они будут вычтены другим способом, прежде чем вы запишете действие для квантовой части.

ззз

@LubošMotl да, конечно, вопрос в том, что для меня не очевидно, что диаграммы, которые вы получаете, скажем, при вставке фонового поля в строку на диаграмме заходящего солнца исчезают.

ззз

@Qmechanic Спасибо, я добавил некоторые детали, чтобы еще больше разобрать проблему.

Ответы (1)

Потенциал Коулмана-Вайнберга: резюме на 2 циклах?

@Qmechanic, спасибо за редактирование, но статья в Википедии, на которую вы ссылаетесь, похоже, определяет потенциал Коулмана Вайнберга как потенциал лагранжиана КЭД, однако в классической статье Коулмана и Вайнберга они применяют свой анализ также к более простым скалярным теориям поля. Здесь я явно имею в виду такой потенциал для скалярной теории поля.
Привет @bechira: Хорошо, снова удалил ссылку на вики . Рассмотрите возможность добавления дополнительных сведений, чтобы сделать сообщение более доступным. Также рассмотрите возможность добавления автора, названия и т. д. ссылок, чтобы ссылки можно было восстановить в случае их порчи.
Бечира, во всех случаях просто записывают все диаграммы Фейнмана с соответствующими внешними линиями, содержащими разрешенные вершины. Если вставки равны нулю, они либо гарантированно исчезнут, либо предполагается, что они будут вычтены другим способом, прежде чем вы запишете действие для квантовой части.
@LubošMotl да, конечно, вопрос в том, что для меня не очевидно, что диаграммы, которые вы получаете, скажем, при вставке фонового поля в строку на диаграмме заходящего солнца исчезают.
@Qmechanic Спасибо, я добавил некоторые детали, чтобы еще больше разобрать проблему.

Адам · Answer 1

При вычислении эффективного потенциала $V(\phi)$ в упорядоченной фазе ( $\phi_b>0$ ), нужно использовать классический пропагатор $G_c[\phi_b]$ дается инверсией

\frac{{дельта}^{2} С [ф]}{дельта ф^{2}},

$\frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta\phi^2},$ который является функционалом

ϕ

$\phi$ . Энергия вакуума определяется выражением

V (ϕ_{b})

$V(\phi_b)$ , где следует помнить, что

ϕ_{b}

$\phi_b$ также последовательно вычисляется в возмущении

В^{'} (ф_{б}) знак равно 0.

$V'(\phi_b)=0.$ Использование классического пропагатора эквивалентно последовательному пересуммированию

ϕ_{b}^{2}

$\phi_b^2$ всем порядок. В частности, эффективное действие в двухпетлях определяется выражением

Г [ф] знак равно С [ф] + \frac{1}{2} Т р журнал {грамм}_{с} [ф] + 2 - л о о п с д я а грамм р а м с,

$\Gamma[\phi]=S[\phi]+\frac{1}{2}Tr \log G_c[\phi]+{\rm 2-loops\; diagrams},$ где диаграммы с двумя петлями - это 8 и восходящее солнце, которые должны быть вычислены с использованием классического пропагатора.

почему «Использование классического пропагатора эквивалентно последовательному пересуммированию $\phi_b^2$ всему порядку"?
@bechira: Посмотрите на эффективный потенциал одной петли. Классический пропагатор включает в себя $\lambda\phi_b^2$ срок. Если вы расширите пропагатор в журнале, это приведет к $\phi_b^2$ термины, которые необходимо суммировать, если вы используете бесплатный распространитель.

Потенциал Коулмана-Вайнберга: резюме на 2 циклах?

ззз

ззз

Qмеханик

Любош Мотл

ззз

ззз

Ответы (1)

Адам

ззз

Адам

Srednicki QFT Глава 29: Диаграммы Фейнмана для расчета эффективного действия

Как вычислить квантовое эффективное действие из диаграмм Фейнмана 1PI?

Однопетлевой 1ПИ эффективного действия и одетые пропагаторы

Доказательство двухточечной функции геометрического ряда

Физические интерпретации производящих функций Z[J]Z[J]Z[J] и W[J]W[J]W[J] (или E[J]E[J]E[J])

Зачем нужно эффективное действие ΓΓ\Gamma при связном производящем функционале WWW?

Разница между эффективным действием 1PI и эффективным действием Вильсона?

Как правильно понимать эти "1-частично-неприводимые вставки"?

Диаграммы Фейнмана в эффективных теориях

Полевая перенормировка ϕ4ϕ4\phi^4 ко второму порядку