Srednicki QFT Глава 29: Диаграммы Фейнмана для расчета эффективного действия

Я пытаюсь проработать главу 29 Средницкого о подходе Уилсона к перенормировке. Однако я не уверен, почему диаграммы Фейнмана, которые Средненицкий рассматривает и вычисляет в этой главе, являются правильными.

В главе мы рассматриваем ф 4 теория в евклидовом пространстве с интегралом по путям

(29,4) Z ( Дж ) "=" ∫ Д ф   е − С Е + ∫ Дж ф
где евклидово действие
(29,5) С Е "=" ∫ д 4 Икс ( 1 2 Z ф ∂ мю ф ∂ мю ф + 1 2 Z м м п час ф 2 + 1 4 ! Z λ λ п час ф 4 ) .

Насколько я понимаю, мы тогда накладываем какую-то отсечку по импульсу Λ и разделить поле

ф ( Икс ) "=" ф ( Икс ) + х ( Икс ) ,
где ф ( Икс ) имеет опору в импульсном пространстве только для | к | < Λ пока х имеет поддержку только для | к | > Λ . Это должно разделить
Д ф "=" Д ф Д х ,
и действие становится

С Е "=" ∫ д 4 Икс ( 1 2 Z ф ∂ мю ф ∂ мю ф + 1 2 Z м м п час ф 2 + 1 4 ! Z λ λ п час ф 4 ) + ∫ д 4 Икс ( 1 2 Z ф ∂ мю х ∂ мю х + 1 2 Z м м п час х 2 + 1 4 ! Z λ λ п час ( х 4 + 4 х 3 ф + 6 х 2 ф 2 + 4 х ф 3 ) ) .

Теперь мы хотим интегрировать режимы с высоким импульсом, чтобы получить эффективное действие.

(29,9) Z ( Дж ) "=" ∫ Д ф е − С е ф ф ( ф ) + ∫ Дж ф ,

где

(29.10) С е ф ф ( ф ) "=" − бревно ⁡ ( ∫ Д х е − С Е ( ф , х ) ) .

Затем Средненицкий говорит, что для вычисления параметров, умножающих операторы, входящие в эффективный лагранжиан

(29.11) л е ф ф ( ф ) "=" 1 2 Z ( Λ ) ∂ мю ф ∂ мю ф + 1 2 м ( Λ ) 2 ф 2 + 1 4 ! λ ( Λ ) ф 4 + ∑ д ≥ 6 ∑ я с д , я ( Λ ) О д , я

нам нужно просуммировать диаграммы 1PI с правильным количеством внешних ф линии и внутренние х пропагандисты.

Теперь я не понимаю, почему нам нужно суммировать только диаграммы 1PI. На мой взгляд, формула эффективного действия предполагает, что мы должны просуммировать по всем связным* диаграммам только с внутренними х пропагаторы, а не только диаграммы 1PI. Так, например, для расчета коэффициента ф 6 , почему я не рассматриваю диаграмму, соединяющую две вершины с 3 внешними ф линии с одним х линия?

Ответы (3)

У меня нет этой книги передо мной, но я думаю, что не следует воспринимать это объяснение РГ Уилсона слишком буквально. Если вы настаиваете на точной идентичности

Z [ Дж ] "=" ∫ Д ф   е − С Е + Дж ф "=" ∫ Д ф   е − С е ф ф ( ф ) + Дж ф
тогда в принципе эффективное действие не будет давать локальный эффективный лагранжиан. А именно более высокие условия оператора не будут похожи
∫ д Икс   ф ( Икс ) н
но больше похоже
∫ ⋯ ∫ д Икс 1 ⋯ д Икс н   К ( Икс 1 , … , Икс н ) ф ( Икс 1 ) ⋯ ф ( Икс н )
для некоторых нелокальных ядер К составленные из связных диаграмм с х пропагандисты. Можно было бы написать локальное приближение, которое сводится к замене последней величины, скажем,
∫ ⋯ ∫ д Икс 1 ⋯ д Икс н   К ( Икс 1 , … , Икс н ) ф ( Икс 1 ) н
поэтому вклад диаграмм включает эффективные связи
∫ ⋯ ∫ д Икс 2 ⋯ д Икс н   К ( Икс 1 , … , Икс н )
"=" ∫ ⋯ ∫ д Икс 2 ⋯ д Икс н   К ( 0 , Икс 2 , … , Икс н )
по трансляционной инвариантности. Если вы теперь запишете это в импульсном пространстве, вы увидите, что х связные графы оцениваются при нулевом внешнем импульсе . Если график не является 1PI, существует мост или разделительная внутренняя линия, через которую должен проходить нулевой импульс. Но это х пропагатор и по построению обращается в нуль для импульсов < Λ и в частности ноль. В заключение, в принципе, следует включать все связные графы, но единственными выжившими после оценки нулевого импульса являются графы 1PI.

Изменить в соответствии с сомнениями AFT: отличный отчет об использовании операции перемещения точек в пространстве позиций. Икс 1 , … , Икс н всем сидящим сказать Икс 1 , чтобы выполнить перенормировку, находится в разделе II.2 книги Винсента Ривассо «От пертурбативной к конструктивной перенормировке» . Для еще более склонных к математике см. также недавнюю статью Мартина Хайрера «Аналитический взгляд на теорему BPHZ» .

Я не уверен, что куплюсь на это объяснение (ИМХО замена ф 1 ⋯ ф н → ф н ни в каком смысле не кажется допустимым приближением). А пока обратите внимание, что на его веб-странице есть бесплатная копия книги Средницкого .
@AccidentalFourierTransform: вы слышали о приближении локального потенциала и расширении производной? Замена ф 1 ⋯ ф н → ф н является самой сердцевиной перенормировки в КТП. Интуиция, стоящая за этим, заключается в том, что К сделан из твердого х пропагаторы, которые быстро затухают в пространстве положений, если точки удаляются друг от друга. С другой стороны, это нелокальное ядро ​​связано с внешними мягкими или медленно меняющимися полями. ф ( Икс я ) .
Возможно, вы правы. Я просто не знаю.
@AccidentalFourierTransform: я уверен, что вы знаете, но, вероятно, на другом языке: импульсное пространство. В структуре BPHZ вы перенормируете подграф с поверхностной степенью расхождения. дельта ≥ 0 путем вычитания заказа дельта Расширение Тейлора вокруг нулевого импульса. Это основная операция, рекурсивно повторяемая в формуле леса Циммермана. Если вы измените координаты на позиционное пространство, то это вычитание в простейшем случае дельта "=" 0 случае, это разница между ф 1 ⋯ ф н и ф 1 н . Я отредактирую свой ответ, чтобы добавить подробную ссылку.

Причина в теореме о связанных кластерах. В нем говорится, что при заданном действии С ( х ) , то диаграммы Фейнмана, сгенерированные

Z "=" ∫ Д [ х ] е я С ( х )

иногда несвязны, например, при оценке порядка в разложении теории возмущений можно получить не только одну единственную диаграмму Фейнмана, которая является связной, вы можете получить несколько диаграмм, независимых друг от друга. Позволять Вт — производящий функционал для диаграмм Фейнмана, которые все связаны. Тогда теорема о связанных кластерах утверждает, что

Вт "=" бревно ⁡ Z .

Поскольку при вычислении эффективного действия у вас будет именно такой логарифм, вам нужно только сложить все связанные диаграммы и, следовательно, вы можете игнорировать несвязанные диаграммы. Приводимые диаграммы Фейнмана превращаются в неприводимые.

Более того, если Z [ Дж ] зависит от исходного поля Дж , из которого вы можете вывести все виды корреляционных функций, взяв производные, то вы можете показать, что, взяв Дж - производные от функционала Вт [ Дж ] , вы получите все возможные кумулянты. Стандартное отклонение

о Икс Д =< 0 | Т ( Икс Д ) | 0 > − < 0 | Икс | 0 >< 0 | Д | 0 >

для двух наблюдаемых Икс , Д и оператор заказа времени Т является простой формой кумулянта, потому что он измеряет новую статистическую информацию, отклонения и игнорирует вклад простых средних < 0 | Икс | 0 > вычитая их.

Я ценю ваш комментарий о подключенных диаграммах, это была моя ошибка, что я не включил это. Однако даже при этом я до сих пор не уверен, почему Средницкий ограничивается только одночастичными неприводимыми диаграммами, а не всеми связными диаграммами.
Обратите внимание, что неприводимые диаграммы ⊂ связанные диаграммы ⊂ все диаграммы как указано Г , Вт , Z . Связанное — это не то же самое, что неприводимое.
Вы вычисляете моменты Гаусса в переменной х в этом случае и по мере их вычисления вы получите граф, в котором вершина будет связана как минимум с двумя пропагаторами (кроме х ф 3 -термин, который является просто внешней ногой). х 2 ф 2 имеет два фактора х которые могут быть связаны с другими вершинами диаграммы после вычисления интегралов Гаусса. Таким образом, если вы отрежете одну связь, она будет связана по крайней мере с одной вершиной, и связность сохранится.

Средненицкий не подразумевает, что эффективное действие Вильсона является эффективным действием 1PI , если об этом спрашивает ОП. См. также этот пост Phys.SE.

Скорее Средненицкий просто указывает, что статистическая сумма (29.9) для эффективного вильсоновского действия (как и любая статистическая сумма) наиболее удобно анализировать с помощью преобразования Лежандра в 1PI-диаграммы.

Srednicki QFT Глава 29: Диаграммы Фейнмана для расчета эффективного действия
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v