Как правильно понимать эти "1-частично-неприводимые вставки"?

Question

Как правильно понимать эти "1-частично-неприводимые вставки"?

Физика
собственная энергия
диаграммы фейнмана
1pi-эффективное действие
квантовая теория поля
квантовая электродинамика

Золото

В КЭД, имея дело с поляризацией вакуума и фотонным пропагатором, некоторые авторы, такие как Пескин и Шредер, вводят так называемые «неприводимые диаграммы с одной частицей». Они определяются как:

Давайте определим неприводимую диаграмму с одной частицей (1PI) как любую диаграмму, которую нельзя разделить на две, удалив одну линию.

Итак, это «графическое определение», так что по диаграмме мы определяем, является ли она 1PI или нет, глядя на то, можно ли удалить линию, оставив две диаграммы, которые имеют смысл сами по себе.

Это я понимаю. Чего я не понимаю, так это того, что Пескин и Шредер затем делают следующее: рассматривают 1-петлевую поправку к фотонному пропагатору. Это будет диаграмма поляризации вакуума.

Его значение авторы обозначают через $i\Pi_2^{\mu\nu}(p)$ . Затем они определяют $i\Pi^{\mu\nu}(p)$ быть «суммой всех вставок 1PI в фотонный пропагатор». Это иллюстрируется ур. (7,72)

Потом говорят внизу стр. 245, что точная двухточечная функция

Теперь я не понимаю, что он здесь делает. Например, он утверждает, что для $\Pi^{\mu\nu}(q)$ личность Уорда сохраняется $q_\mu \Pi^{\mu\nu}(q)=0$ .

Мой вопрос:

Что является мотивом для определения этого $\Pi^{\mu\nu}$ а именно считать, что "1-частично-неприводимые вставки"?
Как мы поступим с этим математически? Поскольку у меня есть только одно «графическое» определение того, что такое один 1PI, я понятия не имею, что на самом деле означает рассмотрение «всех возможных вставок 1PI», и это меня смущает.
Почему полностью одетый пропагатор, который определяется как преобразование Фурье $\langle \Omega |T\{A^{\mu}(x)A^{\nu}(y)\}|\Omega\rangle$ расширяется как эта сумма? Автор как бы этого не доказывает.

Редактировать: основываясь на ответах, о которых я думал, и я считаю, что дело в том, что в последнем уравнении второй член в RHS представляет собой сумму по всем 1PI, второй - это сумма по всем диаграммам с двумя частями 1PI и так далее.

Но, кажется, автор подразумевает, что: «сумма по всем диаграммам с двумя частями 1PI равна произведению двух сумм всех 1PI». А именно, я думаю, что автор пытается записать следующее (написание $G_0^{\mu\nu}$ для голого пропагатора).

г^{мю ν} "=" г_{0}^{мю ν} + г_{0}^{мю α} Π_{α β} г_{0}^{β ν} + г_{0}^{мю α} Π_{α β} г_{0}^{β р} Π_{р о} г_{0}^{о ν}

$G^{\mu\nu}=G_0^{\mu\nu}+G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\nu}+G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}\Pi_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}$

теперь я попытался понять, почему «сумма по всем диаграммам с двумя частями 1PI» на самом деле такова, но я думаю, что не понимаю.

Пусть даны две диаграммы, каждая из которых разбита на две части 1PI. Первая диаграмма имеет элементы 1PI со значениями $I_{\alpha\beta}$ и $II_{\alpha\beta}$ а второй имеет значения $I'_{\alpha\beta}$ и $II'_{\alpha\beta}$ . Суммируя их, мы имеем

г_{0}^{мю α} я_{α β} г_{0}^{β р} я я_{р о} г_{0}^{о ν} + г_{0}^{мю α} я_{α β}^{'} г_{0}^{β р} я я_{р о}^{'} г_{0}^{о ν} "=" г_{0}^{мю α} (я_{α β} г_{0}^{β р} я я_{р о} + я_{α β}^{'} г_{0}^{β р} я я_{р о}^{'}) г_{0}^{о ν}

$G_0^{\mu\alpha}I_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}+G_0^{\mu\alpha}I'_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II'_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}=G_0^{\mu\alpha}(I_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II_{\rho\sigma}+I'_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II'_{\rho\sigma})G_0^{\sigma\nu}$

теперь я не могу свести это к чему-то с $I+I'$ и $II+II'$ то, что я думаю, это то, что мне нужно. Что не так в моих рассуждениях?

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com/q /440789/2451

Ответы (2)

Как правильно понимать эти "1-частично-неприводимые вставки"?

Связанный: физика.stackexchange.com/q /440789/2451

Любопытный Разум · Answer 1

Любопытный Разум

На самом деле нет особой мотивации, кроме того, что это полезно .
На самом деле не с чем иметь дело: у вас есть набор всех диаграмм Фейнмана. Вы определяете, что диаграмма 1PI — это диаграмма, которая не может стать двумя нетривиальными отдельными диаграммами путем разрезания одной линии. Таким образом, каждая диаграмма, не являющаяся 1PI, имеет такую линию. Две части, которые вы получите после разрезания одной линии, либо 1PI, либо нет, если нет, вы повторяете процесс. Это разбивает каждую диаграмму на строку диаграмм 1PI, поэтому набор всех диаграмм представляет собой объединение «диаграмм 1PI», «2 диаграмм 1PI, соединенных линией», «3 диаграмм 1PI, соединенных линией» и т. д. Говоря, что кто-то рассматривает «все возможные вставки 1PI» в распространителе, просто означает, что он рассматривает сумму по всем диаграммам 1PI с двумя внешними ответвлениями.
На самом деле нечего доказывать. Вы начинаете с того, что знаете, что одетый пропагатор является суммой по всем диаграммам, а поскольку строки 1PI-диаграмм исчерпывают все диаграммы, вы можете записать сумму по всем диаграммам как сумму по 1PI-диаграммам плюс сумму по всем 2 1PI-диаграммам плюс сумму суммировать по всем 3 диаграммам 1PI и так далее. Это разложение полезно (как вы, вероятно, скоро увидите в тексте, который вы читаете), потому что оно дает геометрический ряд вкладов 1PI, который затем позволяет нам заключить, что вклады 1PI представляют собой именно массовый сдвиг между голым и одетым. частицы.

Золото

Итак, позвольте мне посмотреть, правильно ли я понял. Я выбираю одну диаграмму, один входящий фотон, что-то произвольное посередине и исходящий фотон. Если это не 1PI, в середине есть линия, которую можно разорвать, чтобы получить две диаграммы. Поэтому его форма должна быть такой, как на втором рисунке: фотон-произвольный фотон-произвольный фотон. Теперь я повторяю это с этой «произвольной» вещью до тех пор, пока это невозможно сделать. Тогда любая диаграмма с двумя внешними ветвями представляет собой строку 1PI, а ее значение является произведением всех таких 1PI. Это нарушает набор диаграмм, как вы сказали, верно?

Золото

Теперь при вычислении одетого пропагатора я сначала суммирую все 1PI, это второй член на последнем рисунке с двумя внешними фотонами и петлей с 1PI внутри. Затем я выбираю все 2 1PI, соединенных линией, и суммирую их все. Это третий член на последнем рисунке, символизируемый двумя внешними фотонами и двумя кругами с 1PI внутри. В этом суть?

Любопытный Разум

@user1620696 user1620696 Да, вы правильно поняли.

Золото

Только одно: когда я записываю геометрические ряды, о которых ты говоришь, я что-то путаю. Из последнего рисунка, который я опубликовал, автор, кажется, подразумевает, что «сумма всех двух диаграмм 1PI, соединенных линией», такая же, как произведение двух сумм всех диаграмм 1PI вместе с фотонным пропагатором в середине. Итак, первую диаграмму он пишет как

G_{0}^{μ α} Π_{α β} G_{0}^{β ν}

$G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\nu}$ и второй

G_{0}^{μ α} Π_{α β} G_{0}^{β ρ} Π_{ρ σ} G_{0}^{σ ν}

$G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}\Pi_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}$ существование

G_{0}

$G_0$ голый фотонный пропагатор. В моем редактировании это, кажется, не работает. В чем дело?

Любопытный Разум

@user1620696 user1620696 Я не очень понимаю, что вы делаете в своем редактировании, но идея в том, что это вариант продукта Коши . Просто взгляните на две суммы: с одной стороны, «сумма всех двух диаграмм 1PI, соединенных линией», а с другой — «сумма по всем диаграммам 1PI, умноженная на сумму пропагатора, умноженная на все диаграммы 1PI». Вы должны быть в состоянии убедить себя, что это на самом деле одни и те же наборы диаграмм , т.е. там есть биекция. Из каждой пары диаграмм 1PI вы получаете одну «диаграмму 2 1PI с алиной» и наоборот. Вот и все.

Золото

Думаю, я понял вашу точку зрения. Учитывая множество всех диаграмм с двумя внешними ветвями

D_{2}

$\mathcal{D}_2$ мы можем ввести произведение на нем, определив

D_{1} D_{2}

$D_1D_2$ быть диаграммой, полученной путем присоединения отходящей ветви

D_{1}

$D_1$ и входящий этап

D_{2}

$D_2$ . Тогда у нас есть это для

D \in D_{2}

$D\in \mathcal{D}_2$ есть

D_{1}, \dots, D_{k}

$D_1,\dots,D_k$ все 1PI с

D = D_{1} \dots D_{k}

$D = D_1\cdots D_k$ . Таким образом, все «2 1ПИ с линией» — это все диаграммы вида

D_{i} D_{j}

$D_iD_j$ с

D_{i}, D_{j}

$D_i,D_j$ 1PI и мы хотим

\sum D_{i} D_{j}

$\sum D_i D_j$ вот почему это вариант продукта Коши. В итоге это становится

\sum D_{i} \sum D_{j}

$\sum D_i \sum D_j$ и имеем результат. Это верно?

Любопытный Разум

@user1620696 user1620696 Да, именно!

Хавьер · Answer 2

Суть определения диаграмм 1PI в том, что вычисление всех диаграмм (включая приводимые) является избыточным. Скажем, вы уже рассчитали низший порядок собственной энергии, диаграмму с электронной петлей. Что, если у вас есть электронная петля, а затем еще одна электронная петля (немного похоже на ваше второе изображение)? Это сложнее? Нет, это просто значение одной электронной петли в квадрате. Поэтому, если мы просто рассчитаем диаграммы 1PI, мы сможем получить все диаграммы с очень небольшой дополнительной работой.

Все возможные вставки 1PI просто означают, что внутри заштрихованного круга вы можете поместить что угодно, если это соединяется с внешними линиями, и это 1PI. Наглядная интуиция — это хорошая интуиция, потому что, опять же, цель диаграмм 1PI — упростить. Если диаграмму можно разделить пополам одним разрезом, то это всего лишь произведение двух более простых диаграмм.

Что касается пропагатора, вспомните, что ранее в книге вы вычисляли двухточечную функцию для скалярного поля, и она оказалась суммой всех диаграмм с двумя внешними точками в фиксированных положениях. $x$ и $y$ . Преобразование Фурье — это всего лишь его версия в импульсном пространстве. А сумма всех возможных диаграмм с двумя внешними фотонами — это то, что P&S рисует на втором рисунке по определению 1PI: если какая-то диаграмма не является 1PI, ее можно разделить на две части 1PI.

Что касается вашего редактирования: то, что утверждает книга, верно только в том случае, если вы включаете все диаграммы в заданном порядке. В вашем примере вы пропустили, что у вас также должен быть $I'-II$ и $I-II'$ диаграмма. Сумма всех четырех даст то, что вы хотите.

Думаю, я понял. Итак, на последнем рисунке, который я разместил, первый член — это голый пропагатор, второй — сумма по всем диаграммам 1PI, третий — сумма по всем 2 частям 1PI, соединенным линией, и так далее. Произвольная диаграмма представляет собой строку 1PI, поэтому она будет внутри некоторых из этих сумм, и у нас есть они все. Это идея?
@ user1620696 Я ответил на отредактированную часть вашего вопроса.
Теперь я вижу. Если я просто выберу две диаграммы с 2 частями 1PI и просуммирую их, это не окажется произведением двух сумм с пропагатором. Это произойдет только тогда, когда мы включим их все, что и имел в виду автор. В этом суть?

Как правильно понимать эти "1-частично-неприводимые вставки"?

Золото

Qмеханик

Ответы (2)

Любопытный Разум

Золото

Золото

Любопытный Разум

Золото

Любопытный Разум

Золото

Любопытный Разум

Хавьер

Золото

Хавьер

Хавьер

Золото

Доказательство двухточечной функции геометрического ряда

Поляризация вакуума в КЭД — почему она важна для перенормировки?

Как вычислить квантовое эффективное действие из диаграмм Фейнмана 1PI?

Оператор электромагнитного тока с использованием правил Фейнмана

Сколько различных диаграмм дают вклад в двухфотонную амплитуду в КЭД?

Однопетлевой 1ПИ эффективного действия и одетые пропагаторы

Вершинный фактор/правило QED

Бесспиновый e−γ→e−e−γ→e−e^{-}\gamma\rightarrow e^{-} Сечение

Определение правил Фейнмана из лагранжиана

Диаграммы Фейнмана: сумма квадратов диаграмм или квадрат суммы диаграмм?