Как вы доказываете, что L=I−V+1L=I−V+1L=I-V+1 в теории λϕ4λϕ4\lambda\phi^4?

Эта формула на самом деле является формулой Эйлера для плоских графов и верна для всех диаграмм Фейнмана, независимо от того, в какой теории мы находимся.

Доказательство проводится по индукции и легко, если мы сначала пренебрегаем случаем пересечения прямых:

1. Обратите внимание, что граф с одной петлей имеет две вершины, одну петлю и две внутренние линии, поэтому формула верна.

2. Обратите внимание, что$(n+1)$-петлевой граф получается из$n$-петлевой граф, либо рисуя одну дополнительную линию между двумя уже существующими вершинами, которая не изменяется$L-I$, либо добавив новую вершину и соединив ее с двумя другими вершинами, что не меняет$L-I+V$.

3. По индукции формула верна для всех графов с конечным числом петель.

Более формально можно сказать, что

Диаграмма Фейнмана называется планарной , если присоединенный граф, полученный соединением всех внешних прямых с одной вершиной, является плоским .

а затем мы до сих пор доказали, что формула верна для всех плоских графов Фейнмана. Интересно, что даже не все$\phi^4$графики плоские. Учитывать$2\to 2$(или$1\to 3$)-рассеяние с ящичной диаграммой, где каждая внешняя линия соединена со своей вершиной, а каждая вершина связана с каждой другой вершиной. Присоединенный граф — это полный граф на пяти вершинах, который, как известно, не является плоским.

Тем не менее, «формула Фейнмана-Эйлера»

$$L-I+V = 1$$ по-прежнему выполняется из-за формального подсчета петель. По общей формуле Эйлера $$\#\{\mathrm{vertices}\} - \#\{\mathrm{edges}\} + \#\{\mathrm{faces}\} = 2 - 2g$$ где $g$— род поверхности, на которой можно нарисовать граф без пересечений, а «гранями» являются все области, ограниченные ребрами. «Лицо» не обязательно должно иметь вершину в каждом углу, поэтому, когда вы получаете две пересекающиеся линии на графе Фейнмана, вы получаете две дополнительные грани, которые вы не считаете петлями — приведенный выше прямоугольник. $\phi^4$Диаграмма имеет четыре грани внутри коробки, но только две петли.

Поскольку каждое пересечение линий, которое нельзя устранить путем деформации графа (и, следовательно, является «истинным пересечением», а не только тем, что мы слишком тупы, чтобы правильно нарисовать граф), увеличивает род, на котором вы могли бы нарисовать граф без пересечений, на$1$, из общей формулы Эйлера следует «формула Фейнмана-Эйлера» для всех графов.

На странице 140 учебника Средненицкого по КТП приведено гораздо более простое доказательство:

В этом можно убедиться, подсчитав количество внутренних импульсов и ограничений среди них. В частности, назначьте нефиксированный импульс каждой внутренней линии; есть [$I$] этих импульсов. Тогда$V$вершины обеспечивают$V$ограничения. Одна линейная комбинация этих ограничений обеспечивает сохранение общего импульса и, следовательно, не ограничивает внутренние импульсы. Следовательно, количество внутренних импульсов, оставшихся незафиксированными вершинными ограничениями, равно$[I] − (V−1)$, а количество незафиксированных импульсов равно количеству петель L.