Правила Фейнмана со спиральными состояниями.

Аргументация по первому вопросу выглядит следующим образом:

Рассмотрим вектор Паули-Лубански$W_{\mu} = \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}P^{\nu}M^{\rho\sigma}$. Где$P^{\mu}$импульсы и$M^{\mu\nu}$являются генераторами Лоренца. (Норма этого вектора есть группа Казимира Пуанкаре, но этот факт не понадобится для рассуждений.)

Из соображений симметрии имеем$W_{\mu} P^{\mu} = 0$. Теперь в случае безмассовой частицы вектор, ортогональный светоподобному вектору, должен быть ему пропорционален (легкое упражнение). Таким образом$W^{\mu} = h P^{\mu}$, ($h = const.$). Теперь нулевая компонента вектора Паули-Любански определяется выражением:

$W_{0} = \epsilon_{0\nu\rho\sigma}P^{\mu}M^{\mu\nu} = \epsilon_{abc}P^{a}M^{bc} = \mathbf{P}.\mathbf{J}$, (где суммирование после второго равенства идет только по пространственным индексам, а$\mathbf{J}$являются генераторами вращения).

Следовательно, константа пропорциональности$h = \frac{W^{0}}{P^{0}}= \frac{\mathbf{P}.\mathbf{J}}{|\mathbf{P}|}$является спиральность.

Теперь, на квантовом уровне, если мы повернем на угол$2 \pi$вокруг оси импульса волновая функция приобретает фазу:$exp(2 \pi i\frac{\mathbf{P}}{|\mathbf{P}|}.\mathbf{J}) = exp(2 \pi i h)$. Этот фактор должен быть$\pm 1$согласно статистике частиц таким образом$h$должно быть полуцелым.

Что касается второго вопроса, очень мощным методом построения глюонных амплитуд является твисторный подход. См. следующую статью Н. П. Наира для ясного изложения.

Обновлять:

Это обновление относится к вопросам, заданным пользователем 6818 в комментариях:

Для простоты я рассмотрю случай фотона, а не глюона.

Стратегия решения основана на явном построении углового момента и спина поля свободного фотона (зависящих от векторов поляризации) и показе того, что приведенные выше соотношения выполняются для поля фотона. Импульс фотона и плотность углового момента можно получить с помощью теоремы Нётер из фотонного лагранжиана. В качестве альтернативы, хорошо известно, что линейный импульс фотона определяется вектором Пойнтинга (пропорциональным)$\vec{E}\times\vec{B}$, и нетрудно убедиться, что полная плотность углового момента (пропорциональна)$\vec{x}\times \vec{E}\times\vec{B}$.

Теперь полный угловой момент можно разложить на угловой и спиновой угловые моменты (см. К. Т. Хехт: квантовая механика (стр. 584, уравнение 16))

$\vec{J} = \int d^3x (\vec{x}\times \vec{E}\times\vec{B}) =\int d^3x (\vec{E}\times\vec{A} + \sum_{i=1}^3 E_j \vec{x} \times \vec{\nabla} A_j )$

Первый член в правой части можно интерпретировать как спин, а второй - как орбитальный угловой момент, поскольку он пропорционален положению.

Теперь ни спин, ни плотность орбитального углового момента не являются калибровочно-инвариантными (только их сумма). Но можно утверждать, что полный орбитальный угловой момент равен нулю, потому что среднее значение положения равно нулю, поэтому общий спин:

$\vec{S} =\int d^3x (\vec{E}\times\vec{A})$

калибровочно инвариантен:

Теперь мы можем наблюдать это в каноническом квантовании:$[A_j, E_k] = i \delta_{jk}$, мы получаем$[S_j, S_k] = 2i \epsilon_{jkl} S_l$. Каковы соотношения коммутации углового момента, кроме множителя 2.

Теперь, подставив решение плоской волны:

$A_k = \sum_{k,m=1,2} a_{km} \vec{\epsilon_m}(k) exp(i(\vec{k}.\vec{x}-|k|t)) +h.c.$

(Состояние$\vec{\epsilon_m}(k).\vec{k} = 0$, это просто следствие исчезновения исходников).

Мы получаем:

$\vec{S} = \sum_{k,m=1,2}(-1){m} a^\dagger_{km}a_{km} \hat{k} = \sum_{k}(n_1-n_2)\hat{k}$

(где$n_1$,$n_2$— количество фотонов с правой и левой круговой поляризацией). Таким образом, для одного свободного фотона общий спин и, следовательно, общий угловой момент выровнены вдоль или напротив импульса, что является тем же результатом, что и в первой части ответа.

Во-вторых, операторы полного спина фотона существуют и преобразуются (с точностью до 2 раз) как операторы углового момента со спином 1/2.

Всякий раз, когда формулируются правила Фейнмана, они всегда не упоминают о спиральности — это, как мне кажется, очень сбивает с толку. Как представить и объяснить это?

В КТП вы можете представить состояние калибровочных квантов по их импульсу и спиральности. Вы также можете сделать это зависимым от калибровки способом, указав импульс и вектор поляризации.$\epsilon_\mu(p)$. Это ноль$\epsilon(p)^2 = 0$и подлежит калибровочной эквивалентности$\epsilon_\mu(p) \sim \epsilon_\mu(p) + p_\mu$. Когда вы вычисляете амплитуду рассеяния с помощью правил Фейнмана, вы описываете состояния внешних частиц с помощью векторов поляризации. Это стандартный учебник, поэтому я не понимаю, что вас смущает.

Есть ли интуитивный/простой аргумент в пользу того, почему безмассовые частицы должны иметь «спиральности» (а не поляризации) и они могут быть только в форме ± некоторое положительное целое число? (... я видел несколько очень подробных аргументов в пользу того, что зависит от теории представления для небольшой группы безмассовых частиц и различных других топологических соображений - я ищу здесь какое-то "быстрое" объяснение для этого..)

Математически частицы соответствуют неприводимым представлениям группы Лоренца. Теория представлений группы Лоренца несколько деликатна, потому что она некомпактна. Но некомпактность легко понять физически: это потому, что можно увеличивать на произвольную величину. Так что давайте забудем о бустах и ​​посмотрим только на преобразования Лоренца, которые сохраняют направление импульса. Вы должны быть в состоянии показать, что эти преобразования образуют$SO(2) \simeq U(1)$подгруппа. Они действуют на состояния, умножая их на фазу. Обвинение по этому$U(1)$группа - это просто спиральность.

Есть ли какая-то причина, по которой амплитуды рассеяния поляризованных глюонов на уровне дерева можно как-то «очевидно» записать?

Что вы имеете в виду под очевидно? Это легко записать на уровне дерева, это типичное упражнение QFT с использованием правил Фейнмана. И кстати, мне кажется, что написанная вами формула не может быть правильной, так как она нарушает калибровочную инвариантность. Он должен быть инвариантным относительно$\epsilon_\mu(p) \sim \epsilon_\mu(p) + p_\mu$.