Вычисление тета-терма по треугольной диаграмме

Question

Вычисление тета-терма по треугольной диаграмме

Физика
спиральность
диаграммы фейнмана
квантовые аномалии
квантовая теория поля
квантовая хромодинамика

Томас

хиральный $U(1)$ аномалию в КХД можно вычислить точно по однопетлевым диаграммам Фейнмана, например по знаменитой треугольной диаграмме . В настоящее время я выполняю вычисления, чтобы лучше понять КХД . $\theta$ -срок , $\mathcal{L}\propto\theta G\tilde{G}$ , где $G$ - тензор напряженности поля глюона и $\tilde{G}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}G^{\rho\sigma}$ является его двойственным по Ходжу .

Однако я застрял на последнем шаге вычисления. После оценки треугольной диаграммы с помощью обычного подхода параметризации Фейнмана, сдвига интеграла импульса, использования свойств симметрии интеграла импульса, ..., я наконец получаю выражение

г^{2} Т р (Т^{а} Т^{б}) ε_{мю ν р о} д_{1}^{мю} д_{2}^{ν} ε_{1}^{р} ε_{2}^{о},

$g^2 Tr(T^aT^b)\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}q_1^\mu q_2^\nu \varepsilon_1^\rho \varepsilon_2^\sigma,$

где $g$ сила связи КХД, $T^a$ – образующие группы Ли, $\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$ это эпсилон-тензор, $q_1$ и $q_2$ - импульсы входящих глюонов, и $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ являются глюонными состояниями спиральности.

След $Tr(T^aT^b)$ просто $\delta^{ab}$ , но я не знаю, как обращаться с импульсами и состояниями спиральности. Как мне переписать это выражение в окончательный результат,

Т р (г \tilde{г}),

$Tr(G\tilde{G}),$

для получения вышеупомянутого $\theta$ -срок?

Ответы (1)

Вычисление тета-терма по треугольной диаграмме

Прахар · Answer 1

Теперь вы хотите вернуться в позиционное пространство. Я сделаю это здесь очень схематично, что дает ответ без учета общего фактора.

По существу, при преобразовании Фурье $q_{i\mu} \to \partial_\mu$ и $\epsilon_{i\mu} \to A_\mu$ . Затем

г^{2} Тр (Т^{а} Т^{б}) ε_{мю ν р о} д_{1}^{мю} д_{2}^{ν} ϵ_{1}^{р} ϵ_{2}^{о} \to г^{2} Тр (Т^{а} Т^{б}) ε_{мю ν р о} \partial^{мю} А^{ν} \partial^{р} А^{о} \sim г^{2} Тр (Т^{а} Т^{б}) ε_{мю ν р о} Ф^{мю ν} Ф^{р о} \sim г^{2} Тр (Т^{а} Т^{б}) * (Ф \land * Ф) \sim г^{2} * Тр (Ф \land * Ф)

$g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} q_1^\mu q_2^\nu \epsilon_1^\rho \epsilon_2^\sigma \to g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \partial^\mu A^\nu \partial^\rho A^\sigma \sim g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} F^{\mu\nu} F^{\rho\sigma} \sim g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \ast ( F \wedge \ast F ) \sim g^2 \ast \text{Tr} (F \wedge \ast F )$

Не могли бы вы объяснить мне, почему ваши пропорции все еще верны для неабелевых калибровочных полей? я вижу это $\partial^\mu A^\nu$ пропорциональна $F^{\mu\nu}$ если $F$ — напряженность поля абелева фотона. Но напряженность неабелева глюонного поля $G$ также содержит дополнительный термин $f^{abc}A^b A^c$ , билинейный по глюонным полям $A$ . Насколько я понимаю, эти дополнительные члены каким-то образом должны исчезнуть — они сокращаются где-то в вычислении?

Вычисление тета-терма по треугольной диаграмме

Томас

Ответы (1)

Прахар

Томас

Правила Фейнмана со спиральными состояниями.

Получение правил Фейнмана из лагранжиана для вершинных факторов для «более сложных» взаимодействий

Логика большого расширения NNN

Является ли это киральной аномалией единственной причиной наличия инстантонных эффектов (и, следовательно, θ−θ−\тета-члена) в действии КХД?

двухстрочное обозначение (трех- и четырехглюонные вершины) - как это упрощение?

Аномалии КХД

Как получить ток Голдстоуна-Вильчека?

В каком смысле петлевые диаграммы являются квантовыми поправками?

Зависящий от обрезания «обратный пропагатор» для перенормировки

Как вычислить квантовое эффективное действие из диаграмм Фейнмана 1PI?