Разложение по цвету амплитуды n−n−n-глюонного дерева

у меня тут есть С U ( Н с ) Теория Янга-Милля и пусть индекс я , обозначить н -глюоны и { к я , λ я , а я } - его импульсы, спиральность и цветовой показатель и А н т р е е / 1 − л о о п ( { к я , λ я , а я } ) — амплитуда уровня дерева/1-петли для их рассеяния. Тогда, по-видимому, выполняются следующие два уравнения:

  • А н т р е е ( { к я , λ я , а я } ) "=" г н − 2 ∑ о е С н / Z н Т р [ Т а о ( 1 ) … Т а о ( н ) ] А н т р е е ( о ( 1 λ 1 ) … о ( н λ н ) )

  • А н 1 − л о о п ( { к я , λ я , а я } ) "=" г н [ ∑ о е С н / Z н Н с Т р [ Т а о ( 1 ) … Т а о ( н ) ] А н ; 1 т р е е ( о ( 1 λ 1 ) … о ( н λ н ) ) + ∑ с "=" 2 [ н 2 ] + 1 Т р [ Т а о ( 1 ) … Т а о ( с − 1 ) ] Т р [ Т а о ( с ) … Т а о ( н ) ] А н ; с т р е е ( о ( 1 λ 1 ) … о ( н λ н ) ) ]

Я хочу знать доказательство двух приведенных выше уравнений.

Кажется, что эта лекция пытается набросать некоторые аргументы в пользу первого из двух приведенных выше выражений, но тогда это не очень ясно.

  • Хотя я нигде не видел, чтобы это было четко написано, но я предполагаю, что факторы А н т р е е и А н ; 1 и А н ; с которые возникают в правой части двух приведенных выше уравнений, называются «амплитудами, упорядоченными по цвету» . Было бы здорово, если бы кто-то тоже что-то сказал об этой идее. (.. я планирую позже поднять еще один отдельный вопрос, сосредоточив внимание на этом аспекте..)

{..мой LaTeX кажется искаженным! Было бы здорово, если бы кто-нибудь отредактировал это и указал, что пошло не так..}

Ответы (1)

Вы можете показать, что амплитуда имеет такую ​​форму, подумав о правилах Фейнмана. Я буду обсуждать частицы только в присоединенном представлении (это подходит для суперсимметричных теорий), но это можно сделать и в более общем виде. Обратите внимание, что если у вас есть частицы, преобразующиеся в фундаментальном представлении С U ( Н ) тогда амплитуда не имеет формы в вашем вопросе.

Подумайте о трехглюонной вершине. Он содержит ф а б с коэффициент, который с точностью до константы можно записать в виде тр ⁡ ( Т а [ Т б , Т с ] ) "=" тр ⁡ ( Т а Т б Т с ) − тр ⁡ ( Т а Т с Т б ) . Так что это можно записать как комбинацию следов произведений генераторов алгебры Ли. Теперь подумайте о соединении двух таких тройных вершин. Мы должны вычислить такие величины, как тр ⁡ ( Т а Т б Т с ) тр ⁡ ( Т с Т г Т е ) , где индекс с суммируется.

Теперь, для С U ( Н ) у нас есть это

( Т а ) я Дж ( Т а ) к л "=" дельта к Дж дельта я л − 1 Н дельта Дж я дельта л к ,
где мы суммируем по индексу а . Для U ( Н ) последний член в правой части отсутствует. Используя это, вы увидите, что цветовой коэффициент для соединения двух тройных вершин также может быть записан в виде одной трассы. То же самое можно сделать для вершины четвертой степени.

Для рассеяния на уровне дерева вы можете сделать это рекурсивно. Вы начинаете с некоторой тройной вершины и продолжаете соединять другие вершины, и, используя два приведенных выше тождества, вы всегда можете переписать ответ в виде одной трассы.

На уровне цикла это не работает, потому что вы можете получить такие вещи, как тр ⁡ ( Т а ⋯ Т б Т с ) тр ⁡ ( Т с Т г ⋯ Т б ) , с суммой более б и с . Используя С U ( Н ) личность вы получаете вклад тр ⁡ ( Т а ⋯ Т б Т г ⋯ Т б ) . Теперь, снова используя личность, вы получаете тр ⁡ ( Т а ⋯ ) тр ⁡ ( Т г ⋯ ) . В общем, на ℓ петли, которые вы можете иметь ℓ + 1 следы, если у вас есть достаточно большое количество частиц.

Не могли бы вы подробнее рассказать о том, как ограничение на представление $
[Не обращайте внимания на искаженный тип выше!] Не могли бы вы подробнее рассказать о том, как ограничение на представление С U ( Н ) приходит в? Например, если бы вы могли написать несколько явных уравнений для того, что вы называете фундаментальным представлением, — есть ли в стандартной теории Янга-Милла ограничение на то, в каком представлении должны находиться фермионы? (.. подобно тому, как калибровочные поля должны находиться в присоединенном представлении..) Последнее уравнение на первой странице моей связанной лекционной записи уже дает аргумент правдоподобия для этого разложения.
Не могли бы вы объяснить, как третье уравнение на второй странице моих связанных заметок соответствует обычным правилам Фейнмана? Я не понял часть вашего аргумента на уровне 1 цикла. Не могли бы вы дать ссылку на то, что вы говорите?
@Anirbit, фермионы могут быть в произвольном представлении. В своем ответе я для простоты рассмотрел фермионы в сопряжении. Если они лежат в основе С U ( Н ) , тогда вы получите цветовой коэффициент ( Т а ) я Дж для взаимодействия с калибровочными полями, в то время как у вас был ф а б с в случае присоединенного представления. Как следствие, теперь вы также можете получить строки генераторов калибровочной алгебры, ( Т а Т б ⋯ ) я Дж . Для ссылок вы можете попробовать эту обзорную статью или эти конспекты лекций .
Если я вас правильно понял, то вы говорите, что третье уравнение на второй странице моих связанных конспектов лекций сводится к обычным правилам Фейнмана, когда они написаны для присоединенного представления? Не могли бы вы уточнить, что вы имеете в виду под «присоединенным» и «фундаментальным» представлением? Это сбивает с толку. Обычная нормализация, указанная в верхней части первой страницы моих связанных заметок, при использовании в факторах трассировки третьего уравнения второй страницы моих связанных заметок, похоже, дает посторонний коэффициент «-2».
Для чисто глюонных вершин (трехточечных и четырехточечных) в теории Янга-Милла есть ли какой-либо выбор матриц Т а ? Я думал, что они обязательно будут в примыкании, т.е. б с элемент матрицы Т а вынужден быть структурной константой ф а б с . Я видел этот обзор Диксона, но там излагаются только те две теоремы факторизации, которые я цитировал. Я не видел обзор Mangano-Park - он довольно большой - можете ли вы указать, где в нем доказываются эти факторизации?
Разложение по цвету амплитуды n−n−n-глюонного дерева
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v