Представление алгебры Лоренца и КТП

Question

Представление алгебры Лоренца и КТП

Физика
теория групп
Лоренц-симметрия
квантовая механика
квантовая теория поля
групповые представления

Квантование

Мне просто трудно провести полную аналогию между представлением алгебры Лоренца в квантовой теории поля (КТП) и представлением SU (2) в квантовой механике (КМ).

Чтобы пояснить свою точку зрения, я напишу несколько вещей, которые, как мне кажется, верны для случая КМ. Сначала мы начнем с рассмотрения матриц вращения в классической механике, представленных матрицами $R \in SO(3)$ .

Затем мы связываем унитарные матрицы с $R$ , $D(R)$ , и эти матрицы образуют $SU(2)$ группа. Теперь обратимся к алгебре $SU(2)$ найти фундаментальные коммутационные соотношения между образующими $D(R)$ , а именно,

[{Дж}_{я}, {Дж}_{Дж}] "=" я ϵ_{я Дж к} {Дж}_{к}

$[J_i,J_j] = i\epsilon_{ijk}J_k$

Затем мы ищем разные представления этих генераторов, характеризующихся разными угловыми моментами (что определяет размерность векторного пространства, в котором действуют генераторы).

Представление, которое мы используем, также дает явное выражение для наших унитарных матриц $D(R)$ к

Д (р) "=" опыт (\frac{я \vec{Дж} \cdot \hat{н}}{ℏ}) .

$D(R) = \exp(\frac{i\vec{J}\cdot\hat{n}}{\hbar}).$

Кроме того, я могу определить векторы и тензоры с помощью этой унитарной матрицы, $D(R)$ . Например, вектор $V_i$ трансформируется по

Д (р)^{- 1} В^{я} Д (р) "=" р_{Дж}^{я} В^{Дж} .

$D(R)^{-1} V^i D(R) = R_{\:j}^i V^j.$

Теперь я хочу аналогичным образом понять случай КТП с группой Лоренца. (В настоящее время я слежу за текстом QFT от Srednicki).

Я начну с матриц Лоренца $\Lambda$ , и свяжем его с унитарными матрицами, $U(\Lambda)$ . У меня такое же определение 4-вектора в QFT, как и в QM:

U (Λ)^{- 1} В^{я} U (Λ) "=" Λ_{Дж}^{я} В^{Дж} .

$U(\Lambda)^{-1} V^i U(\Lambda) = \Lambda_{\:j}^i V^j.$

Я также могу определить генераторы $U(\Lambda)$ , $M^{\mu\nu}$ , и вывести его фундаментальные коммутационные соотношения,

[М^{мю ν}, М^{р о}] "=" \dots .

$[M^{\mu\nu},M^{\rho\sigma}]=\cdots.$

Теперь, проводя полную аналогию с КМ, я рассчитываю найти представление $M^{\mu\nu}$ и представительство $U(\Lambda)$ возведением в степень $M^{\mu\nu}$ .

Но вместо этого мы продолжаем искать представление $\Lambda$ , вместо $U(\Lambda)$ как в КМ. Например, что касается представления левого спинора Вейля, я нахожу представление $L(\Lambda)$ :

U (Λ)^{- 1} ψ_{а} (Икс) U (Λ) "=" л_{а}^{б} (Λ) ψ_{б} (Λ^{- 1} Икс) .

$U(\Lambda)^{-1} \psi_a(x) U(\Lambda) = L_a^{\:b}(\Lambda) \psi_b(\Lambda^{-1} x).$

Теперь у меня есть генератор $S_L$ (который теперь не обязательно должен быть эрмитовым (в отличие от КМ) ), что дает $L(\Lambda)$ при возведении в степень (а не $U(\Lambda)$ (в отличие от QM) ).

Я не получаю явного выражения (в отличие от QM) для $U(\Lambda)$ , так что я не знаю, что думать о них или их генераторах $M^{\mu\nu}$ . Например, я получаю выражения, включающие оба $M^{\mu\nu}$ и $S_L^{\mu\nu}$ ( (тогда как в QM, поскольку я искал представление $D(R)$ (скорее, чем $R$ ), количество аналогичное $M^{\mu\nu}$ и $S_L^{\mu\nu}$ было то же самое) )

Я знаю, что не существует конечного унитарного представления алгебры Лоренца, поэтому я думаю, что это недостающая часть моего понимания. Я хотел бы сделать полную аналогию с QM, может ли кто-нибудь помочь?

Спасибо.

любопытный разум

Если вы знаете, что не существует конечномерного унитарного представления группы Лоренца, какую недостающую часть вы ищете? Каков ваш конкретный вопрос ? (Кажется, вас смущает тот факт, что существуют два «одновременных» представления группы Лоренца в КТП. Те, которые действуют непосредственно на (классические) поля как конечномерные представления (ваши

L (λ)

$L(\lambda)$ ) и унитарные представления гильбертовых пространств состояний, при которых поля преобразуются как операторы (по вашему

U Λ

$U\Lambda$ ). Вы не получите полной аналогии с QM, потому что этого не происходит в QM.

любопытный разум

Ваше определение "вектора" тоже не верно, уже в случае QM - это

V^{i}

$V^i$ является вектором при вращении, он преобразуется как

V \mapsto D (R) V

$V\mapsto D(R) V$ , или, в компонентах,

V^{i} \mapsto D (R)_{j}^{i} V^{j}

$V^i \mapsto D(R)^i_j V^j$ . Что в QFT "операторное преобразование"

U (λ) ϕ U (λ)^{†}

$U(\lambda)\phi U(\lambda)^\dagger$ и "векторное преобразование"

ϕ \mapsto L (Λ) ϕ

$\phi\mapsto L(\Lambda)\phi$ совпадают — одна из аксиом Вайтмана.

Квантование

@ACuriousMind: Да, это то, что меня смущает. Вы говорите, что правая часть (конечномерное представление) не является конечномерным «гильбертовым» пространством? Так

ψ_{a} (x)

$\psi_a(x)$ имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве и конечномерное представление в классическом векторном пространстве? Кроме того, вы говорите, что аксиома Вайтмана говорит нам, если я найду явное бесконечномерное представление

ψ_{a} (x)

$\psi_a(x)$ и

U (Λ)

$U(\Lambda)$ , левая сторона даст точно такой же результат? Спасибо ACuriousMind!

Ответы (1)

Представление алгебры Лоренца и КТП

Если вы знаете, что не существует конечномерного унитарного представления группы Лоренца, какую недостающую часть вы ищете? Каков ваш конкретный вопрос ? (Кажется, вас смущает тот факт, что существуют два «одновременных» представления группы Лоренца в КТП. Те, которые действуют непосредственно на (классические) поля как конечномерные представления (ваши $L(\lambda)$ ) и унитарные представления гильбертовых пространств состояний, при которых поля преобразуются как операторы (по вашему $U\Lambda$ ). Вы не получите полной аналогии с QM, потому что этого не происходит в QM.
Ваше определение "вектора" тоже не верно, уже в случае QM - это $V^i$ является вектором при вращении, он преобразуется как $V\mapsto D(R) V$ , или, в компонентах, $V^i \mapsto D(R)^i_j V^j$ . Что в QFT "операторное преобразование" $U(\lambda)\phi U(\lambda)^\dagger$ и "векторное преобразование" $\phi\mapsto L(\Lambda)\phi$ совпадают — одна из аксиом Вайтмана.
@ACuriousMind: Да, это то, что меня смущает. Вы говорите, что правая часть (конечномерное представление) не является конечномерным «гильбертовым» пространством? Так $\psi_a(x)$ имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве и конечномерное представление в классическом векторном пространстве? Кроме того, вы говорите, что аксиома Вайтмана говорит нам, если я найду явное бесконечномерное представление $\psi_a(x)$ и $U(\Lambda)$ , левая сторона даст точно такой же результат? Спасибо ACuriousMind!

Любопытный Разум · Answer 1

Путаница здесь возникает потому, что здесь мы не полностью аналогичны нерелятивистской КМ.

Учитывая (квантовое или классическое) поле $\phi$ , мы обычно указываем, является ли оно «скалярным», «спинорным», «тензорным» и т. д. полем. Это относится к конечномерному представлению $\rho_\text{fin}$ группы Лоренца поле превращается в элемент :

ф \overset{Λ}{\mapsto} р_{плавник} (Λ) ф

$\phi \overset{\Lambda}{\mapsto} \rho_\text{fin}(\Lambda)\phi$ Но одновременно квантовое поле является оператором в гильбертовом пространстве теории, а в гильбертовом пространстве должно существовать унитарное представление

U

$U$ . Точнее, каждый компонент

ϕ^{μ}

$\phi^\mu$ квантового поля является оператором и, следовательно, преобразуется так же, как и операторы :

ф^{мю} \overset{Λ}{\mapsto} U (Λ) ф^{мю} U (Λ)^{†}

$\phi^\mu \overset{\Lambda}{\mapsto} U(\Lambda)\phi^\mu U(\Lambda)^\dagger$ Теперь это одна из аксиом Вайтмана , которая

U (Λ) ф U (Λ)^{†} "=" р_{плавник} (Λ) ф

$U(\Lambda)\phi U(\Lambda)^\dagger = \rho_\text{fin}(\Lambda)\phi$ или в компонентах

U (Λ) ф^{мю} U (Λ)^{†} "=" р_{плавник} (Λ)_{ν}^{мю} ф^{ν}

$U(\Lambda)\phi^\mu U(\Lambda)^\dagger=\rho_\text{fin}(\Lambda)^\mu_\nu\phi^\nu$ Именно в соответствии с этим предположением достаточно дать конечномерное представление квантового поля, чтобы также зафиксировать сопровождающее его унитарное представление в бесконечномерном гильбертовом пространстве, в котором оно является оператором. Бесконечномерные представления характеризуются классификацией Вигнера через их массу и спин/спиральность. Поскольку конечномерные представления о полях также характеризуются спинами, масса (из кинетического члена поля) и спин поля (из его конечномерного представления) фиксируют унитарное представление, создаваемые им частицы превращаются в .

Все это часто заметают под ковер, потому что для Лоренц-инвариантного вакуума $\lvert\Omega\rangle$ , у нас есть

ф | Ом ⟩ \overset{Λ}{\mapsto} р_{плавник} (Λ) ф | Ом ⟩

$\phi \lvert \Omega \rangle \overset{\Lambda}{\mapsto} \rho_\text{fin}(\Lambda) \phi \lvert\Omega\rangle$ так что знания конечномерного представления достаточно, чтобы знать, как все состояния поле создает из вакуумного преобразования, и поскольку пространства Фока полностью построены из таких состояний, это все практические знания об унитарном представлении, которые обычно необходимы.

Спасибо за Ваш ответ! Не могли бы вы расширить следующий пункт? > Именно в силу этого предположения достаточно дать конечномерное представление квантового поля, чтобы также зафиксировать сопровождающее его унитарное представление в бесконечномерном гильбертовом пространстве, в котором оно является оператором. Т.е. как именно это «фиксирует» сопутствующее унитарное представление?
@balu На самом деле это не полностью фиксирует соответствующее унитарное представление - унитарное представление однозначно определяется массой и спином в соответствии с классификацией Вигнера. Спин определяется конечномерным представлением Лоренца, но масса является дополнительным параметром, который несет с собой поле (точнее, лагранжиан).
Вау... это потрясающе! То есть в основном мы говорим о двух разных представлениях одновременно? Тот, в котором само поле является векторным пространством, над которым нужно работать, и тот, в котором поле действует на ассоциированном гильбертовом пространстве?
В книге Шварца по КТП говорится, что нам нужны бесконечномерные представления, и мне всегда было интересно, как, например. представление (1/2, 0) бесконечномерно, когда оно четырехмерно. Так это ключ к этому?

Представление алгебры Лоренца и КТП

Квантование

любопытный разум

любопытный разум

Квантование

Ответы (1)

Любопытный Разум

балу

любопытный разум

Иштван Бауэр

Иштван Бауэр

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

Представления группы Лоренца в КТП: что такое векторное пространство?

О различных представлениях группы Лоренца и ее определяющих свойствах

От представлений к теориям поля

Почему представления, а не просто группы?

Могут ли конечномерные неприводимые (j+,j−)(j+,j−)(j_+,j_-) представления группы Лоренца SO(3,1)SO(3,1)SO(3,1) быть унитарными?

Амплитуда состояния и ковариация оператора поля в КТП

Какая симметрия ответственна за вырождение гамильтониана свободной частицы?

(A,B)(A,B)(A,B)-представление группы Лоренца: коэффициентные функции полей

Можно ли разложить алгебру Ли sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) в прямую сумму двух sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb {Р})?