Задача с неразличимыми фермионами и порядок применения операторов

Я формализую свои комментарии в ответ и попытаюсь ввести нотацию, которая может избежать некоторых недоразумений в ОП. Правильный способ думать об операторах рождения и уничтожения, пространствах Фока и т. д. — это представление числа заполнения, когда мы записываем базисные состояния в терминах количества квантов.$n_i$несущие заданное значение всех возможных квантовых чисел, обозначаемых вместе как$i$. Эти состояния записываются как:

$$\lvert n_a n_b n_c \cdots \rangle = \left(\prod_i \frac{1}{\sqrt{n_i!}} \right)(c_a^\dagger)^{n_a} (c_b^\dagger)^{n_b} (c_c^\dagger)^{n_c} \cdots \lvert 0\rangle. \tag{1}$$ Для бозонов числа $n_a$может принимать любое значение при отсутствии других ограничений. Когда вы имеете дело с фермионами, принцип Паули говорит вам, что $n_a = 0,1$для всех квантовых чисел $a, b, c, \ldots$. Симметрия обмена обеспечивается за счет определения лестничных операторов, которые подчиняются каноническим (анти) коммутационным соотношениям. $[c_a,c_b^\dagger] = \delta_{ab}$( $\{c_a,c_b^\dagger\} = \delta_{ab}$). Некоторым людям нравится называть это представление «вторым квантованием». Оно отличается от «первоквантованного» представления, где состояния записываются как $$\lvert n_a n_b n_c \cdots \rangle = \mathcal{S}_\pm \left[\lvert a\rangle^{\otimes n_a} \otimes \lvert b\rangle^{\otimes n_b} \otimes\lvert c\rangle^{\otimes n_c} \otimes \cdots \right], \tag{2}$$ где каждый фактор в тензорном произведении соответствует выделенной частице, и поэтому мы применяем комбинированную (анти-) симметризацию и последующую операцию нормализации $\mathcal{S}_\pm$чтобы получить правильную обменную статистику для идентичных частиц. Преимущество представления (1) над представлением (2) становится кристально ясным, как только вы пытаетесь записать любое нетривиальное многочастичное состояние.

Теперь к основной части вопроса. Определение операторов Ферми$c_a \lvert 0 \rangle = 0$, в сочетании с каноническими антикоммутационными соотношениями, подразумевают, что эти операторы не просто «аннигилируют» частицы, в отличие от бозонного случая. Есть также некоторые хитрые фазовые факторы, которые необходимо тщательно отслеживать. Это делается автоматически с помощью формы справа от (1). Однако, если вы настаиваете на использовании формы слева, вы обнаружите, что

$$c_d\lvert n_a \ldots n_d \ldots \rangle = \delta_{n_d,1}(-1)^{\sum_{i<d} n_i} \lvert n_a \ldots (n_d - 1) \ldots \rangle, \tag{3}$$ где $i< d$просто означает все индексы, которые появляются слева от $d$. Вы можете легко доказать это из определения в правой части (1).

Указав на пример из ОП, хотелось бы «доказать» канонические антикоммутационные отношения (хотя на самом деле они являются частью определения$c_a$), учитывая действие$\{c_\uparrow,c_\downarrow^\dagger\}$о состоянии$\lvert \uparrow \rangle = |0_\downarrow 1_\uparrow \rangle$(это «первое» и «второе квантованное» представление соответственно). Эти манипуляции будут проходить через промежуточные состояния$(\lvert\downarrow \rangle \lvert\uparrow\rangle - \lvert\uparrow \rangle \lvert\downarrow\rangle)/\sqrt{2} = \lvert 1_\downarrow 1_\uparrow \rangle$и$\lvert \downarrow \rangle = |1_\downarrow 0_\uparrow \rangle$. У нас есть

$$c_\uparrow c_\downarrow^\dagger \lvert 0_\downarrow 1_\uparrow \rangle = c_\uparrow|1_\downarrow 1_\uparrow \rangle = -|1_\downarrow 0_\uparrow \rangle,$$ где на последнем шаге мы использовали (3). С другой стороны, $$c_\downarrow^\dagger c_\uparrow \lvert 0_\downarrow 1_\uparrow \rangle = c_\downarrow^\dagger \lvert 0_\downarrow 0_\uparrow \rangle = \lvert 1_\downarrow 0_\uparrow \rangle.$$ Таким образом, мы подтвердили, что $\{c_\uparrow,c_\downarrow^\dagger\} = 0$в этом случае.

$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}\newcommand{\up}{\ket{\uparrow}}\newcommand{\down}{\ket{\downarrow}}$Давайте напишем ваше начальное состояние как$\psi_0 = a^\dagger_\uparrow\ket{0} = \up$.

Вы утверждаете, что$a_\downarrow^\dagger\psi_0 = \up\down$. Это неверно, поскольку

$$a^\dagger_\downarrow\psi_0 = a_\downarrow^\dagger a_\uparrow^\dagger \ket{0} \overset{\text{CAR}}{=} - a_\uparrow^\dagger a_\downarrow^\dagger \ket{0} = -a^\dagger_\uparrow \down \tag{i}$$

где мы бы написали RHS как$\down\up$по вашей логике, но$\down\up \neq - \up\down$. Государство, созданное действием$a_\uparrow^\dagger a_\downarrow^\dagger = - a_\downarrow^\dagger a_\uparrow^\dagger$уже твой$\ket{S}$.

Такие ошибки продолжаются на протяжении всего поста - например,$(4)$нонсенс, потому что$\ket{0_\uparrow}$это вообще не состояние - состояние, в котором остался только один фермион, просто$\up$или$\down$или их линейная комбинация. Вы должны использовать правильное определение пространства Фока вместо того, чтобы «интуитивно» заключать такие вещи, как$(4)$потому что «неясно, какой фермион разрушен».$\ket{0_\uparrow}\down$не является состоянием в фоковском пространстве. Вы должны использовать пространство Фока с каноническими (анти-) коммутационными отношениями создателей и аннуляторов, чтобы получить правильные результаты в таком «секундно-квантованном» описании.