Я просматривал мемуары Рудольфа Хаага http://link.springer.com/article/10.1140%2Fepjh%2Fe2010-10032-4 и наткнулся на следующие строки:
«...в квантовой теории поля (или для любой системы взаимодействующих частиц) класс эквивалентности представления группы Пуанкаре не зависит от взаимодействия. Оно зависит только от описываемых типов стабильных частиц и известно явно. Этот результат на первый взгляд казался довольно противоречивым, поскольку гамильтониан, который является одним из генераторов группы, содержит член, характеризующий взаимодействие. Но это связано с выбором переменных, через которые записывается гамильтониан. Это не чисто теоретическая характеристика группы».
Мне будет полезно, если кто-нибудь сможет объяснить, о чем именно он говорит, или может дать какие-либо ссылки на то, где этот результат доказан/обсуждается. Но это не кажется доступным в Интернете.
Мне кажется, что первое утверждение говорит о том, что представления группы Пуанкаре помечены массой и спином, поэтому, если я знаю содержание частиц во взаимодействующей теории, включая связанные состояния, я в основном знаю представление. Это верно? Это вторая часть, которую я не могу понять. почему кажущееся противоречие? Различные гамильтонианы взаимодействия действительно содержат информацию о том, какие связанные состояния могут существовать, и тем самым определяют представление, не так ли? Какова роль «выбора переменных, в терминах которых записывается гамильтониан»?
Мне кажется, что он говорит, что появление члена взаимодействия в гамильтониане связано с нашим выбором полей для выражения гамильтониана. Если вместо этого мы выберем поля, которые аннигилируют связанные состояния, ясно, что одночастичный сектор теории выглядит точно так же, как и свободная теория.
Может показаться, что сделать это с состояниями, описывающими множество взаимодействующих частиц, проблематично, но в терминах группы Пуанкаре их нужно просто описать как приводимые представления. Таким образом, мы можем описать взаимодействующую теорию с асимптотическими входными и выходными состояниями многих частиц, которые преобразуются точно так же, как свободная теория под действием группы Пуанкаре.
Динамика по-прежнему присутствует, но теперь она скрыта в переходе из состояния «в» в состояние «вне» (матрица S) вместо гамильтониана.
Отбросьте на мгновение всякое предубеждение относительно ответа на вопрос «что такое частица?»; QM дает нам точный ответ. Мы знаем, что законы физики должны быть инвариантны относительно группы Пуанкаре. Поскольку эта группа определяет, как преобразования Пуанкаре действуют на классические объекты (тензоры), чтобы выяснить, как они действуют на квантовые объекты (векторы в гильбертовом пространстве), мы должны реализовать их как унитарные представления, действующие в некотором гильбертовом пространстве. Структура алгебры Ли этой группы допускает два инварианта Казимира, значения которых индексируют неприводимые представления группы. Дальнейший анализ физического смысла Казимиров показывает, что один из них является (квадратом) оператором массы покоя, а другой — своего рода собственным угловым моментом, не связанным с движением частицы; назовем это вращением (или спиральностью,
Имея в виду, что группа преобразований Пуанкаре оставляет неизменным векторное пространство своего неприводимого представления, теперь мы можем ответить, что такое частица. Принимая как само собой разумеющееся, что преобразования Пуанкаре должны оставлять инвариантной идентичность частицы, из приведенного выше рассуждения мы заключаем, что множество допустимых одночастичных гильбертовых пространств должно быть в точности неприводимыми представлениями группы Пуанкаре. В любом таком представлении масса покоя инвариантна, как и должно быть, как и этот спин (или спиральность).
Теперь вы видите, как, вводя принцип инвариантности Пуанкаре (сущность специальной теории относительности) в квантовую механику, мы получаем ответ на вопрос, что такое отдельная частица и каковы ее свойства. Итак, личность частицы определяется как пара возможных значений инварианта. Следовательно, да, если вы знаете содержание частицы, вы знаете представление по определению.
Теперь, как сказано выше, именно структура алгебры Пуанкаре определяет (Казимиров и, следовательно,) множество допустимых частиц и их свойства. Эта структура определяется композиционным законом преобразований Пуанкаре. Оператор Гамильтона входит в алгебру Пуанкаре как генератор временных трансляций. Поэтому его роль в структуре алгебры Пуанкаре не зависит от того, как вы будете реализовывать гамильтониан, определяя его явно как формальную функцию некоторых переменных, поскольку структура определяется свойствами пространства-времени (и, в частности, на как устроены преобразования Пуанкаре).