Преобразование Боголюбова не является унитарным преобразованием, верно?

Вы правы, преобразования Боголюбова, вообще говоря, не унитарны. По определению,

Преобразования Боголюбова — это линейные преобразования операторов рождения/уничтожения, сохраняющие алгебраические отношения между ними.

Алгебраические соотношения — это в основном соотношения коммутации/антикоммутации , которые определяют бозонные/фермионные операторы. Нигде в определении мы не указали, что преобразование должно быть унитарным. На самом деле преобразование Боголюбова (в его наиболее общем виде) является симплектическим для бозонов и ортогональным для фермионов . Ни в том, ни в другом случае преобразование Боголюбова не является унитарным. Преобразование Боголюбова бозонов соответствует линейному каноническому преобразованию осцилляторов в классической механике (поскольку бозоны являются квантами осцилляторов), и мы знаем, что линейные канонические преобразования являются симплектическими из-за симплектической структуры классического фазового пространства.

Итак, чтобы быть более конкретным, каковы ограничения на преобразования Боголюбова? Рассмотрим случай$n$одночастичные моды любого бозона$b_i$или фермионы$f_i$(куда$i=1,2,\cdots,n$обозначает одночастичные состояния, такие как собственные состояния импульса). Оба$b_i$и$f_i$не являются эрмитовыми операторами, что не совсем удобно для общего рассмотрения (поскольку мы не можем просто рассматривать$b_i$и$b_i^\dagger$как независимый базис, так как они все еще связаны преобразованием частица-дырка). Поэтому мы решили переписать операторы в виде следующих линейных комбинаций (движимые идеей разложения комплексного числа на два действительных числа, например$z=x+\mathrm{i}y$):

$$\begin{split}b_i&=a_i+\mathrm{i}a_{n+i}\\b_i^\dagger&=a_i-\mathrm{i}a_{n+i}\end{split}\qquad \begin{split}f_i&=c_i+\mathrm{i}c_{n+i}\\f_i^\dagger&=c_i-\mathrm{i}c_{n+i}\end{split}$$ куда $a_i=a_i^\dagger$и $c_i=c_i^\dagger$(за $i=1,2,\cdots,2n$) являются эрмитовыми операторами (аналог действительных чисел). Они должны наследовать коммутационные или антикоммутационные соотношения от «сложных» бозонов. $b_i$и фермионы $f_i$: $$\begin{split}[b_i,b_j^\dagger]=\delta_{ij},[b_i,b_j]=[b_i^\dagger,b_j^\dagger]=0&\Rightarrow[a_i,a_j]=\frac{1}{2}g_{ij}^a \\ \{f_i,f_j^\dagger\}=\delta_{ij}, \{f_i,f_j\}=\{f_i^\dagger,f_j^\dagger\}=0&\Rightarrow\{c_i,c_j\}=\frac{1}{2}g_{ij}^c\end{split}$$ куда $g_{ij}^a$и $g_{ij}^c$иногда называют квантовой метрикой для бозонов и фермионов соответственно. В матричных формах они задаются формулой $$g^a=\mathrm{i}\left[\begin{matrix}0&\mathbb{1}_{n\times n}\\-\mathbb{1}_{n\times n}&0\end{matrix}\right] \qquad g^c=\left[\begin{matrix}\mathbb{1}_{n\times n}&0\\0&\mathbb{1}_{n\times n}\end{matrix}\right],$$ с $\mathbb{1}_{n\times n}$будучи $n\times n$единичная матрица. Таким образом, сохранение алгебраических соотношений между операторами рождения/уничтожения означает сохранение квантовой метрики . Общие линейные преобразования операторов $a_i$и $c_i$принять форму $$a_i\to \sum_{j}W_{ij}^a a_j\qquad c_i\to \sum_{j}W_{ij}^c c_j,$$ где элементы матрицы преобразования $W_{ij}^a, W_{ij}^c\in\mathbb{R}$должны быть реальными, чтобы гарантировать, что операторы $a_i$и $c_i$остаются эрмитовыми после преобразования. Тогда для сохранения квантовой метрики требуется $$W^a g^a W^{a\intercal}= g^a\qquad W^c g^c W^{c\intercal}= g^c.$$ Поэтому любое вещественное линейное преобразование, удовлетворяющее указанным выше условиям, является преобразованием Боголюбова в самом общем смысле. Тогда в зависимости от свойства квантовой метрики преобразование Боголюбова либо симплектическое, либо ортогональное. Для бозонной квантовой метрики $g^a=-g^{a\intercal}$антисимметрична , поэтому преобразование $W^a$является симплектическим . Для фермионной квантовой метрики $g^c=g^{c\intercal}$симметричен , поэтому преобразование $W^c$является ортогональным .

Унитарность квантово-механического преобразования не определяется тем, как в нем смешиваются операторы рождения и уничтожения. (Неважно, какая матрица — ортогональная, симплектическая или унитарная — участвует в перемешивании!) Скорее следует исследовать, связано ли преобразование с унитарным оператором, действующим в гильбертовом пространстве.

Приведенное преобразование Боголюбова ОП можно представить следующим образом ($\textbf{k}$-зависимость подавляется):

$$\hat{a} \ \ \rightarrow \ \ \hat{a}^{\prime} =\, \cosh\lambda\, \hat{a} \,+\, \sinh\lambda\,\hat{b}^{\dagger}, \\ \hat{b}^{\dagger}\ \ \rightarrow\ \ \hat{b}^{\prime\,\dagger} =\, \sinh\lambda\, \hat{a} \,+ \,\cosh\lambda\,\hat{b}^{\dagger},$$ куда $\lambda$является действительным числом. Это преобразование унитарно тогда и только тогда, когда существует унитарный оператор $U$такой, что $$\hat{a}^{\prime} = U \hat{a} U^{-1},\\ \hat{b}^{\prime\,\dagger} = U \hat{b}^{\dagger} U^{-1}.$$ Действительно, эти соотношения выполняются при следующем выборе: $$U = \exp\Big[\lambda(\hat{a}\hat{b} - \hat{b}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger})\Big],$$ поэтому преобразование унитарно.

Позвольте мне поработать над этой частью матричного уравнения

$$H=\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}a_{\bf{k}}^\dagger & b_{\bf{k}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{\bf{k}} \\ b_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix}=\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}}^\dagger & \beta_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}} \\ \beta_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix}$$ Важная часть заключается в том, что преобразование полей можно увидеть, а также преобразование матрицы $$\Gamma~=~\begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1\end{pmatrix}~\rightarrow~\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix}~=~M^\dagger\Gamma M,$$ куда $M^\dagger~=~M$. Определитель этого $det(M\Gamma M)~=~det(M)det(\Gamma)det(M)$ $=~det(\Gamma)$Определитель $M$затем дает $u_k^2~-~v_k^2~=~1$. Затем они могут быть представлены $u_k~=~sinh(k)$и $v_k~=~cosh(k)$.

Теперь оцените коммутатор$[a_k,~a^\dagger_k]$

$$[a_k,~a^\dagger_k]~=~u_k^2[\alpha_k,~\alpha_k^\dagger]~+~v_k^2[\beta^\dagger_k,~\beta_k]~=~u_k^2[\alpha_k,~\alpha_k^\dagger]~-~v_k^2[\beta_k,~\beta^\dagger_k].$$ Для коммутаторов $[\alpha_k,~\alpha_k^\dagger]~=~[\beta_k,~\beta_k^\dagger]~=~1$и тогда мы видим $[a_k,~a_k^\dagger]~=~1$. То же самое явно имеет место $[b_k,~b_k^\dagger]~=~1$Это означает, что любая система с $N\hbar$единиц действия постоянна. Объем фазового пространства системы не меняется. тогда это означает, что преобразования Боголюбова эффективно унитарны.