Вычисление коммутационных соотношений оператора плотности (Atland & Simons)

Я пытаюсь проработать пример Альтланда и Саймонса о взаимодействии фермионов в одном измерении. Он находится в главе 2, стр. 70 ( вы можете найти его здесь ).

Они определяют фермионные операторы

а с к †
где с "=" л / р . а л к † это оператор, который создает электрон, движущийся влево с импульсом ( − к Ф + к ) , и а р к † это оператор, который создает электрон, движущийся вправо с импульсом ( к Ф + к ) . Итак, в основном, а л к † "=" а − к Ф + к † , а р к † "=" а к Ф + к † . Эти операторы существуют только для небольших к .

Затем они определяют операторы плотности

р с д "=" ∑ к а с к + д † а с к

Далее они показывают, что коммутационные соотношения для операторов плотности имеют вид

[ р с д , р с ′ д ′ ] "=" дельта с , с ′ ∑ к ( а с к + д † а с к − д ′ − а с к + д + д ′ † а с к )

Теперь, вот часть, которую я не понимаю. Они говорят, что хотят заменить правую часть уравнения ожидаемым значением основного состояния. Они определяют основное состояние теории как | Ом ⟩ . Потом они утверждают, что

⟨ Ом | а с к † а с к ′ | Ом ⟩ "=" дельта к к ′

Почему это должно быть правдой? Я понимаю, что в теории невзаимодействия а с к † а с к ′ | Ом ⟩ ортогонален | Ом ⟩ пока не к "=" к ′ . Но в теории взаимодействия основное состояние может находиться в суперпозиции состояний, что означает ⟨ Ом | а с к † а с к ′ | Ом ⟩ ≠ 0 .

В конечном итоге они используют это, чтобы доказать

⟨ Ом | [ р с д , р с ′ д ′ ] | Ом ⟩ "=" дельта с , с ′ дельта д , − д ′ ∑ к ⟨ Ом | ( а с к + д † а с к + д − а с к † а с к ) | Ом ⟩
и я не вижу другого способа доказать это.

Что мне не хватает?

Основное состояние | Ом ⟩ — заполненная сфера Ферми (или линия в 1D). Это считается вакуумом, а низкоэнергетическими возбуждениями этого вакуума являются квазичастицы (волны плотности заряда в одномерном бесспиновом случае). Основное состояние не меняется при наличии слабых взаимодействий. Приближение похоже на теорию возмущений первого порядка в обычной квантовой механике.
@Praan В тексте они говорят, что единственное приближение, которое они делают, заключается в том, что мы фокусируемся только на низколежащих возбуждениях над основным состоянием, а НЕ на том, что основное состояние близко к невзаимодействующему основному состоянию. Забегая вперед, тем не менее, они продолжают описывать | Ом ⟩ как заполненное ферми-море, так что, возможно, вы правы. Есть ли способ сделать этот расчет без этого предположения?

Ответы (1)

Вы можете доказать это, используя трансляционную инвариантность, без каких-либо других предположений о природе взаимодействующего основного состояния. Я собираюсь привести аргумент в Д размеры, что, очевидно, выполняется в Д "=" 1 как частный случай.

Пространственные перемещения системы в целом генерируются импульсом центра масс ( ℏ "=" 1 )

п "=" ∑ к , с к а к с † а к с ,
где жирным шрифтом обозначен вектор в Д размеры. Унитарный оператор Т р "=" е я п ⋅ р описывает перевод системы координат на величину р . Теперь решающим предположением является то, что взаимодействующее основное состояние удовлетворяет условию п | Ом ⟩ "=" 0 , т.е. Т р | Ом ⟩ "=" | Ом ⟩ . Это верно для любой системы с трансляционно-инвариантными взаимодействиями, поскольку в этом случае 1) гамильтониан ЧАС коммутирует с п , так что собственные состояния ЧАС также являются собственными состояниями п , и 2) собственные состояния п получить положительный вклад п 2 / 2 М к их энергии (в нерелятивистском приближении), с М общая масса системы. Следовательно, основное состояние | Ом ⟩ лежит в п "=" 0 сектор. Конечно, приведенные выше формальные аргументы доказывают то, что уже должно быть очевидным: система в своем основном состоянии не имеет общего движения в лабораторной системе отсчета.

Остальная часть аргумента следует из некоторой простой алгебры. Легко доказывается коммутационное соотношение

[ п , а к с ] "=" − к а к с ,
что физически означает, что лестничный оператор а к с уменьшает общий импульс системы на величину к , а также влечет свойство перевода
Т р а к с Т р † "=" е − я к ⋅ р а к с .
Следует, что
⟨ Ом | а к с † а к ′ с | Ом ⟩ "=" ⟨ Ом | ( Т р † Т р ) а к с † ( Т р † Т р ) а к ′ с ( Т р † Т р ) | Ом ⟩ "=" ⟨ Ом | ( Т р а к с † Т р † ) ( Т р а к ′ с Т р † ) | Ом ⟩ "=" е я ( к − к ′ ) ⋅ р ⟨ Ом | а к с † а к ′ с | Ом ⟩ ,
где первое равенство следует из унитарности Т р , второй из трансляционной инвариантности взаимодействующего основного состояния, а третий с использованием свойства трансляции лестничных операторов. Заметив, что указанное выше равенство выполняется для всех р , мы заключаем, что обе стороны должны обращаться в нуль, если только к "=" к ′ .

Наконец, стоит упомянуть, что этот аргумент никоим образом не опирается на фермионную статистику, и то же самое верно в бозонной системе. В самом деле, аналогичное свойство выполняется для любого оператора, который увеличивает импульс системы на определенную величину (таким образом, удовлетворяя описанному выше свойству переноса). Сюда входят сами компоненты Фурье плотности,

р д с "=" ∑ к а к + д с † а к с ,
которые удовлетворяют
⟨ Ом | р д с † р д ′ с | Ом ⟩ ∝ дельта д д ′ .

Ух ты! Это подход, о котором я бы никогда не подумал. Спасибо!
Возможно, с опозданием на несколько лет, но как фермионы вообще должны иметь такое коммутационное соотношение (вместо антикоммутационного)?
Привет @donnydm, ты действительно можешь доказать это коммутационное соотношение из фундаментальных фермионных антикоммутационных соотношений. То есть, [ а † а , а ] "=" − а справедливо как для фермионов, так и для бозонов.
@MarkMitchison А, я вижу, мы можем использовать [ А , Б ] "=" 2 А Б − { А , Б } и а 2 "=" 0 , Спасибо!
Вычисление коммутационных соотношений оператора плотности (Atland & Simons)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v