На этот вопрос всегда есть конечный ответ: запишите комплексный бозон/фермион в терминах реального бозона/фермиона ($a=a_R+i a_I$и т. д.), подключите его, а затем диагонализируйте с помощью ортогональных матриц. Вероятно, это более естественный способ сделать это для систем, не сохраняющих частицы.

Если кто-то настаивает на том, чтобы делать это в терминах комплексного бозона/фермиона, это все еще возможно, но во многих случаях это раздражает. Это связано с тем, что (как правило) также необходимо преобразовать действительную и мнимую части переменных, что вынуждает удвоить размер матрицы, чтобы включить$( a,a^{\dagger},b,b^{\dagger})^T$все вместе, как спинор Намбу, когда кто-то решает гамильтониан среднего поля сверхпроводников. Раздражает то, что нужно позаботиться об избыточности компонентов матрицы.

Есть два метода решения этой проблемы:

1. Как указано в ответе Йен-Та Хуанга , а также в этом ответе Эверетта Ю (EY16) на этот связанный вопрос , мы можем разделить операторы создания и уничтожения на реальную и мнимую части.
2. Как указано в (Capri, 2002; pg448), мы можем обобщить преобразование Боголюбова для работы со сложными гамильтонианами.

Здесь я сделаю простой пример со следующим фермионным гамильтонианом:

$$H=\varepsilon c_1^\dagger c_1+\varepsilon c_2^\dagger c_2+\lambda i(c_1^\dagger c_2^\dagger-c_2c_1)\tag{1}$$

Способ 1

Мы позволим:

$$c_j=a_j+i b_j\quad \text{for}\quad j=1,2 \tag{2}$$ где$a_j^\dagger=a_j$и$b_j^\dagger=b_j$. Как показано в EY16 для$a_j$и$b_j$имеем следующие коммутационные соотношения $$\{a_j,a_j\}=\{b_j,b_j\}=1$$ $$\{a_1,a_2\}=\{b_1,b_2\}=\{a_i,b_j\}=0$$ Таким образом, подставляя (2) в (1), мы получаем, что (после некоторой алгебры): $$H=2i (\varepsilon a_1b_1+\varepsilon a_2 b_2+\lambda a_1 a_2-\lambda b_1 b_2)$$ $$=2i\begin{pmatrix} a_1 &b_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varepsilon & \lambda \\ \lambda &\varepsilon \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ a_2\end{pmatrix}$$ Как объяснялось в EY16, преобразование Боголюбова$a_j$и$b_j$является ортогональным преобразованием в случае фермионов. Таким образом, если мы допустим: $$\begin{pmatrix} b_1 \\ a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1 \\ d_2\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} a_1 \\ b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 \\ e_2\end{pmatrix}$$ с новыми фермионными операторами рождения и уничтожения, заданными формулой$f_j=d_j+ie_j$при соответствующем выборе$\theta$это приведет к диагонализации гамильтониана

Способ 2

В методе 2 мы просто обобщаем преобразование Боголюбова. Рассмотрим преобразование:

$$f_j=u_jc_j+v_j c_j^\dagger$$ нам необходимо обеспечить выполнение условий, которые: $$\{f_i,f_j\}=0, \quad \{ f_i,f_j^\dagger\}=\delta_{ij}$$ Если мы это сделаем, то получим то, что нам нужно: $$u_1v_2+u_2v_1=0\tag{3}$$ и $$|u_j|^2+|v_j|^2=1\tag{4}$$ (4) означает, что мы имеем: $$u_j=\cos(\theta_j) e^{i\phi_j^u}\quad v_j=\sin(\theta_j) e^{i\phi_j^v}$$ в то время как с этим (3) подразумевает, что: $$\cos(\theta_1)\sin(\theta_2)=-\cos(\theta_2) \sin(\theta_1),\quad \phi_1^u+\phi_2^v=\phi_2^u+\phi_1^v$$ Собирая их вместе, мы получаем общее преобразование Бололюбова фермионных операторов:

$$e^{i\tilde \phi_1} \begin{pmatrix}e^{i\tilde \phi_2} \cos(\theta_p) & e^{i\tilde \phi_3}\sin(\theta_p)\\ -e^{-i\tilde \phi_3}\sin(\theta_p) & e^{-i\tilde \phi_2}\cos(\theta_p) \end{pmatrix}$$ При этом можно следовать стандартному методу преобразования Бололюбова.

Для справки, общее преобразование Бололюбова для бозонов (согласно моим расчетам):

$$e^{i\tilde \phi_1} \begin{pmatrix}e^{i\tilde \phi_2} \cosh(\theta_p) & e^{i\tilde \phi_3}\sinh(\theta_p)\\ e^{-i\tilde \phi_3}\sinh(\theta_p) & e^{-i\tilde \phi_2}\cosh(\theta_p) \end{pmatrix}$$