Вывод Феттера и Валеки второго квантованного потенциального члена в многочастичном TDSE

Я понимаю, что для потенциального члена гамильтониана мы проходим тот же процесс, что и для члена кинетической энергии. На правой стороне TDSE мы получаем что-то вроде 1 2 ∑ я ∑ Дж ≠ я ∑ к ∑ л ≠ к ⟨ я Дж | В | к л ⟩ С ( … Е я − 1 Е к Е я + 1 … Е Дж − 1 Е л Е Дж + 1 … ; т ) .

Изменение порядка списка аргументов С ( … ) на правой стороне несет фазовый множитель ( − 1 ) п , где п зависит от порядка я , Дж , к , л .

Некоторые примеры: если их порядок восхождения ...

к я л Дж : п "=" н к + 1 + ⋯ + н я − 1 + н л + 1 + ⋯ + н Дж − 1

к л я Дж : п "=" н к + 1 + ⋯ + н я − 1 + н л + 1 + ⋯ + н Дж − 1

л я к Дж : п "=" н я + 1 + ⋯ + н к − 1 + н л + 1 + ⋯ + н Дж − 1 + 1 [дополнительный + 1 исходит из того, что я и Дж расположены с противоположной «полярностью» к к и л , Следовательно Е к , Е л должны быть заменены друг на друга, чтобы занять правильные позиции]

Как и выше, по моим расчетам, п ( к л я Дж ) "=" п ( к я л Дж ) , однако, если мы вычислим ( − 1 ) п работая на | { н м } ⟩ нравиться а я † а Дж † а л а к | { н м } ⟩ , Я получил ( − 1 ) С к + С л − 1 + С Дж − 2 + С я − 2 | … н к − 1 … н л − 1 … н Дж + 1 … н я + 1 ⟩ "=" ( − 1 ) С к + С л + С Дж + С я − 1 | … н к − 1 … н л − 1 … н Дж + 1 … н я + 1 … ⟩

если заказ к л я Дж но

( − 1 ) С к + С л − 1 + С Дж − 2 + С я − 1 | … н к − 1 … н л − 1 … н Дж + 1 … н я + 1 … ⟩ "=" ( − 1 ) С к + С л + С Дж + С я | … н к − 1 … н л − 1 … н Дж + 1 … н я + 1 … ⟩

если заказ к я л Дж . Получатель чего-то я и л имеет значение, когда я вычисляю фазовый фактор путем последовательного применения а , а † но не тогда, когда я вычисляю его, переупорядочивая аргументы С ( … ) коэффициенты. Где я ошибаюсь?

Ответы (2)

Пусть порядок номеров занятий н м в состояниях Фока такова, что ( к л я Дж ⇔ к < л < я < Дж ) и разреши С м "=" н 1 + н 2 + ⋯ + н м − 1 быть фазовыми факторами, рассчитанными до применения любых операторов создания/уничтожения.

Вы правильно принимаете во внимание, что применение оператора уничтожения снижает фазовый фактор для действия следующего оператора на 1 , но следует также учитывать тот факт, что применение оператора создания увеличивает фазовый коэффициент для следующего оператора на 1.

Возьмите к л я Дж , к < л < я < Дж случае, шаг за шагом:

а Дж † а я † а л а к | … н к … н л … н я … н Дж … ⟩ "=" ( − 1 ) С к дельта н к , 1 а Дж † а я † а л | … н к − 1 … н л … н я … н Дж … ⟩ "=" "=" ( − 1 ) С к + С л − 1 дельта н к , 1 дельта н л , 1 а Дж † а я † | … н к − 1 … н л − 1 … н я … н Дж … ⟩ "=" "=" ( − 1 ) С к + С л − 1 + С я − 2 дельта н к , 1 дельта н л , 1 дельта н я , 0 а Дж † | … н к − 1 … н л − 1 … н я + 1 … н Дж … ⟩ "=" "=" ( − 1 ) С к + С л − 1 + С Дж − 2 + С я − 2 + 1 дельта н к , 1 дельта н л , 1 дельта н я , 0 дельта н Дж , 0 | … н к − 1 … н л − 1 … н я + 1 … н Дж + 1 … ⟩ "=" "=" ( − 1 ) С к + С л + С Дж + С я дельта н к , 1 дельта н л , 1 дельта н я , 0 дельта н Дж , 0 | … н к − 1 … н л − 1 … н я + 1 … н Дж + 1 … ⟩
Теперь возьмите к я л Дж , к < я < л < Дж случай:
а Дж † а л † а я а к | … н к … н я … н л … н Дж … ⟩ "=" ( − 1 ) С к дельта н к , 1 а Дж † а л † а я | … н к − 1 … н я … н л … н Дж … ⟩ "=" "=" ( − 1 ) С к + С я − 1 дельта н к , 1 дельта н я , 1 а Дж † а л † | … н к − 1 … н я − 1 … н л … н Дж … ⟩ "=" "=" ( − 1 ) С к + С я − 1 + С л − 2 дельта н к , 1 дельта н я , 1 дельта н л , 0 а Дж † | … н к − 1 … н я − 1 … н л + 1 … н Дж … ⟩ "=" "=" ( − 1 ) С к + С я − 1 + С л − 2 + С Дж − 2 + 1 дельта н к , 1 дельта н я , 1 дельта н л , 0 дельта н Дж , 0 | … н к − 1 … н я − 1 … н л + 1 … н Дж + 1 … ⟩ "=" "=" ( − 1 ) С к + С л + С Дж + С я дельта н к , 1 дельта н я , 1 дельта н л , 0 дельта н Дж , 0 | … н к − 1 … н я − 1 … н л + 1 … н Дж + 1 … ⟩
Это проверяется.

Еще раз спасибо. Однако пара вопросов. в к л я Дж случае, когда мы, наконец, применяем а я † , не я < Дж значит, что а я † | … н к − 1 … н л − 1 … н Дж + 1 … ⟩ "=" а я † … а к − 1 † а к + 1 † … а л − 1 † а л + 1 † … а Дж − 1 † а Дж † а Дж + 1 † … | 0 ⟩ "=" ( − 1 ) С я − 2 + 0 … а к − 1 † а к + 1 † … а л − 1 † а л + 1 † … а я − 1 † а я † а я + 1 † … а Дж − 1 † а Дж † а Дж + 1 † … | 0 ⟩ , а не с лишней 1 в фазовом множителе?
И почему нам разрешено менять порядок операторов в к я л Дж случай?
Добро пожаловать. О я < Дж : От заказа финала н м -s в обоих ваших к л я Дж и к я л Дж случаи, которые идут | … н к − 1 … н л − 1 … н Дж + 1 … н я + 1 … ⟩ , я сделал вывод, что индексы должны быть такими, чтобы к < л < Дж < я , а от уменьшения/увеличения числа оккупантов должно быть создание оп. для я и Дж и операции по уничтожению. для к и л . Но если вместо я < Дж , да, тогда у вас было бы ( − 1 ) С я − 2 с я н с е a_i^\dagger$ будет антикоммутировать с на 2 операции меньше.
Что касается порядка замены, опять же, учитывая конечное состояние, я предположил, что операции одинаковы, но поменялись местами по порядку. Вы, наверное, что-то другое имели в виду?
Извини. я заказал н к , н л и т.п. ошибочно в штатах. Я имел в виду порядок, указанный в к л я Дж , к я л Дж и т.д., так к л я Дж → к < л < я < Дж , например.
Хорошо, я попытался исправить. Имеет ли это смысл сейчас?
Во-вторых, термины, которые я переписал в ответе, выглядят только как переименование друг друга. Я думаю, что 2-й снова не то, о чем вы спрашивали, но я не уверен, что у меня есть правильная идея, чтобы исправить это. Не могли бы вы написать явно, для каждого случая, С Вы имеете в виду формы coeffs и ops-state? Например, что-то вроде С ( … Е к − 1 Е к + 1 … Е л − 1 Е л + 1 … Е я − 1 Е к Е я + 1 … Е Дж − 1 Е л Е Дж + 1 … ) против. а Дж † а я † а л а к | … н к … н л … н я … н Дж … ⟩ , и т. д.
Привет @udrv. Почти уверен, что понял, где ошибался. Опубликовал ответ, если вы хотите посмотреть.

Разобрался, где я ошибался. Ссылаясь на содержание моего вопроса, в к л я Дж случай, т.е. к < л < я < Дж , при изменении порядка С ( … ) список аргументов на RHS, Е л необходимо поменять местами место, где вакантно Е я было бы, следовательно, в этом случае

п ( к л я Дж ) "=" н к + 1 + ⋯ + н я − 1 + ⋯ + н л + 1 + ⋯ + н Дж − 1 − 1 "=" С я − С к − н к + С Дж − С л − н л − 1

и поэтому фазовый фактор, ( − 1 ) п ( к л я Дж ) "=" ( − 1 ) С я + С к − н к + С Дж + С л − н л − 1 , который с помощью дельта н к 0 дельта н л 0 на правой стороне дает ( − 1 ) С я + С к + С Дж + С л − 1 . Это тот же фазовый коэффициент, который вы получаете, когда работаете с состоянием, например а я † а Дж † а л а к | { н м } ⟩ как я упоминал в исходном вопросе.

Вывод Феттера и Валеки второго квантованного потенциального члена в многочастичном TDSE
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v