Преобразование четности спинового и орбитального углового момента в 2D

Если использовать определение углового момента как генератора вращений, то независимо от размеров пространства векторный оператор$\textbf{V}$при вращении должны удовлетворять

$$\begin{equation} U^{\dagger}(R)\textbf{V}_a U(R)=R_{ab}\textbf{V}_b \end{equation}$$ Где ${R}_{ab}$представляет собой D-мерную матрицу вращения и $U(R)$есть его представление в гильбертовом пространстве, где оператор $\textbf{V}$жизни. Рассмотрим бесконечно малое вращение, $R_{ab}=\delta_{ab}+\epsilon K_{ab}$где $\epsilon$является малым параметром и $K^T=-K$. Унитарный оператор $U(R)$, ибо такой инфинитезимальный оператор должен иметь вид $$\begin{equation} U(R)= \textbf{1}+\frac{i\epsilon}{2}K_{ab} \textbf{J}_{ab} + O(\epsilon^2) \end{equation}$$ Заметим, что, поскольку U должно быть унитарным, все компотенты $\textbf{J}_{ab}$должен быть эрмитовым, а поскольку $K$антисимметричный, $\textbf{J}_{ab}$тоже можно взять антисимметричным. Ставя эту форму $U(R)$в первое уравнение находим коммутационные соотношения: $$\begin{equation} i\left[\textbf{V}_c, \textbf{J}_{ab}\right]=\delta_{ac}\textbf{V}_b - \delta_{bc}\textbf{V}_a \end{equation}$$ и эта формула не зависит от количества компонентов $\textbf{V}$. Вычисления $$\begin{equation} U^\dagger(R)\textbf{J}_{ab}U(R) \end{equation}$$ ты можешь показать это $\textbf{J}$ведет себя как тензор относительно вращения.

Таким образом, в D-измерении угловой момент (т.е. генератор вращений) является антисимметричным тензором D-мерного ранга 2.

В 2-х измерениях такой объект имеет как раз 1 независимую составляющую, как вы заметили, а в 3-х измерениях, как известно$\textbf{J}$имеет три независимых компонента и может быть сведена к аксиальному вектору.

Возвращаясь к нашему вопросу, в конкретном случае D=2 записанные выше коммутационные соотношения имеют вид

$$\begin{equation} i\left[\textbf{X},\textbf{J}_{12}\right]=\textbf{Y} \end{equation}$$ $$\begin{equation} i\left[\textbf{Y},\textbf{J}_{12}\right]=\textbf{-X} \end{equation}$$ Используя это коммутационное соотношение, вы можете показать, что $\textbf{J}$меняет знак при преобразовании четности.

Давайте перевернем ось X, оставив Y без изменений:

$$\begin{equation} \frac{1}{i}\textbf{Y} =\frac{1}{i}\pi^\dagger \textbf{Y} \pi = \pi^\dagger \left[\textbf{X},\textbf{J}_{12}\right]\pi=\pi^\dagger \textbf{X}\pi \pi^\dagger \textbf{J}_{12}\pi - \pi^\dagger \textbf{J}_{12}\pi \pi^\dagger \textbf{X}\pi = - \left[\textbf{X}, \pi^\dagger \textbf{J}_{12} \pi\right] \end{equation}$$ Что подразумевает $$\begin{equation} \pi^\dagger \textbf{J}_{12} \pi = - \textbf{J}_{12} \end{equation}$$ То же самое можно показать для $\textbf{J}_{21}$. С $\textbf{J}$меняет знак при преобразовании четности и, как вы заметили, $\textbf{L}$тоже меняет знак $\textbf{S}=\textbf{J} - \textbf{L}$нечетно по четности.