Причина, по которой FμνFμνFμνFμνF^{\mu\nu}F_{\mu\nu} и F~μνFμνF~μνFμν\tilde{F}_{\mu\nu}F^{\mu\nu} являются лоренц-инвариантными

Я пытаюсь придумать интуитивное объяснение, почему Ф мю ν Ф мю ν и Ф ~ мю ν Ф мю ν являются лоренц-инвариантными. Под этим я подразумеваю, что я не просто хочу показать, что они остаются неизменными после фактического выполнения преобразования Лоренца и наблюдения, что я получаю те же самые выражения, но некоего «более глубокого» понимания того, почему это так. Я просто не могу понять, почему эти выражения (записанные в векторах вроде Е 2 − Б 2 и Б ⋅ Е с некоторыми константами) будет одинаковым для каждого инерциального наблюдателя, в то время как для пространственно-временного интервала я могу понять это.

Может быть, есть хорошая ссылка, на которую кто-то мог бы мне указать?

Вы можете посмотреть преобразования Лоренца Б и Е полей (12.108 во Введении Гриффитса в электродинамику, там тоже есть вывод). Затем в разделе 12.3.3 объясняется, как явно построить тензор электромагнитного поля и его двойственный тензор. Наконец, упражнения 12.46 и 12.50 помогают развить интуицию.
Хотя выражения в терминах электрического и магнитного полей не являются явно лоренц-инвариантными, лоренц-инвариантность проявляется при записи в терминах напряженности электромагнитного поля. Это похоже на то, почему скалярное произведение двух векторов в р 3 инвариантны относительно поворотов. Простой поиск по слову «четыре вектора» даст вам ответ.
Я не знаю, является ли это для вас «интуитивным», но если вы принимаете, что F является тензором, то, очевидно, его сокращения являются скалярами.
@Danu: Хм, я должен сказать, что на самом деле не понимаю, как они дают интуицию, они, кажется, показывают, что это правда, а не дают своего рода основную причину. Суреш: Я не уверен, что полностью понимаю. Вы имеете в виду, что 4-векторный эквивалент скалярного произведения инвариантен относительно преобразований Лоренца? Enucatl: Боюсь, я ищу нечто большее, да, поскольку я знаю, что это правда, но я пытаюсь понять, почему, в данном конкретном случае. Что делает эти количества такими особенными?
@ user129412 Да, 4-векторный эквивалент скалярного произведения ( Икс мю у мю ) в пространстве Минковского является скаляром, так же как евклидово скалярное произведение в р 3 ( Икс я у я ). Тот факт, что мы можем упорядочить неинвариантные числа в 4-векторы с инвариантным «скалярным произведением», предполагает, что нечто подобное может быть возможно, упорядочивая 3-компонентные векторы в 2-тензоры с инвариантным «скалярным произведением». Конкретные законы преобразования для Е и Б особенно наводящие на размышления , вот почему я упомянул их.
@suresh Я думаю, что это не то, о чем спрашивает ОП. Реальный вопрос состоял бы в том, как сделать априори ясным, что это сочетание компонентов Е и Б можно организовать для формирования Ф мю ν , такие, что мы имеем упомянутые выше скаляры.
Хм, понятно. Можно ли сказать, что скаляр, построенный из произведения двух тензоров, является лоренц-инвариантным?
@ user129412 Действительно, это так. Любой объект, который может быть записан в виде А "=" т мю Икс мю б λ κ р с κ ф λ р … (т. е. «полное сжатие» произведения тензоров произвольного ранга) является скаляром и, следовательно, инвариантом Лоренца.
Хм, кажется, ваш ответ предполагает, что все скаляры лоренц-инвариантны, но тогда почему существует «особый» класс, называемый скалярами Лоренца? en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_scalar
@ user129412 все скаляры, построенные так, как я только что описал, являются скалярами Лоренца. В повседневном использовании слова скаляр и скаляр Лоренца используются как синонимы.
Что Ф ~ мю ν ?
Это тензор двойного поля. Обозначения могут быть несколько нетрадиционными, прошу прощения.
Связано: physics.stackexchange.com/q/87817/2451 и ссылки в нем.
Я на самом деле знаю, что это такое, но я думаю, что вы должны определить это здесь.
Собственные значения являются инвариантами, найдите собственные значения Ф ν мю путем вычисления характеристического уравнения дет ( Ф ν мю − λ дельта ν мю ) "=" 0 , коэффициенты характеристического многочлена отражают оба выражения (и по теореме Виета выражаются через собственные значения, следовательно, инвариантны), Даларссон, сек. 15.3.

Ответы (2)

Это скаляры Лоренца. Каждый скаляр лоренц-инвариантен.

Ф мю ν является тензором Лоренца, легко увидеть ∂ мю А ν − ∂ ν А мю , что является 2-формой. Сокращения тензоров Лоренца являются тензорами Лоренца. Ф ~ "=" ⋆ Ф является двойственным по Ходжу Ф , который также является 2-формой, следовательно, тензором Лоренца, поэтому то же самое относится к его сокращениям. По этим определениям они также являются тензорами в искривленном пространстве-времени.

Конечно, если вы хотите говорить о дифференциальных формах, то Ф мю ν Ф мю ν "=" ⋆ ( Ф ∧ ⋆ Ф ) и Ф ~ мю ν Ф мю ν "=" ⋆ ( Ф ∧ Ф ) . Перевод между формами и обозначениями индексов не всегда так очевиден, как хотелось бы. :)
@RobinEkman Да, именно поэтому я привык комбинировать их, в зависимости от того, что приводит к более простым выражениям. Например, я никогда не выполнял сокращения с использованием двойственного уравнения Ходжа и предпочитаю заменять его выражением в терминах тензоров.
Да, у них обоих есть свои достоинства, достойный физик должен чувствовать себя комфортно с обоими.
Причина, по которой FμνFμνFμνFμνF^{\mu\nu}F_{\mu\nu} и F~μνFμνF~μνFμν\tilde{F}_{\mu\nu}F^{\mu\nu} являются лоренц-инвариантными
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v