Принцип Гамильтона с неголономными связями в Гольдштейне

Question

Принцип Гамильтона с неголономными связями в Гольдштейне

Физика
учебник-опечатка
классическая механика
ограниченная динамика
лагранжев формализм
вариационный принцип

ради

Я изучаю классическую механику Гольдштейна , 3-е международное издание, 2013 г. В разделе 2.4 он обсуждал принцип Гамильтона с неголономными ограничениями. Ограничения можно записать в виде

\begin{matrix} (2.24) & ф_{α} (д_{1}, . . ., д_{н}; \dot{д_{1}}, . . ., \dot{д_{н}}; т) "=" 0 \end{matrix}

$f_\alpha(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...,\dot{q_n};t)~=~0\tag{2.24}$ где

α = 1, . . ., m

$\alpha=1,...,m$ . Используя вариационный принцип, получаем

\begin{matrix} (2.26) & дельта \int_{т_{1}}^{т_{2}} (л + \sum_{α "=" 1}^{м} {мю}_{α} ф_{α}) г т "=" 0 \end{matrix}

$\delta\int_{t_1}^{t_2}\left(L+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha f_\alpha\right)\mathrm dt=0 \tag{2.26}$

где $\mu_\alpha=\mu_\alpha(t)$ .

Но как он может получить формулу

\begin{matrix} (2.27) & \frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial \dot{д_{к}}} - \frac{\partial л}{\partial д_{к}} "=" - \sum_{α "=" 1}^{м} {мю}_{α} \frac{\partial ф_{α}}{\partial \dot{д_{к}}} \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}-\frac{\partial L}{\partial q_k}=-\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}} \tag{2.27}$

для $k=1,...,n$ из предыдущей формулы?

Когда я выполняю шаги, описанные в разделе 2.3, я получаю

\frac{г я}{г β} "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} \sum_{к "=" 1}^{н} (\frac{\partial л}{\partial д_{к}} - \frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial \dot{д_{к}}} + \sum_{α "=" 1}^{м} {мю}_{α} (\frac{\partial ф_{α}}{\partial д_{к}} - \frac{г}{г т} \frac{\partial ф_{α}}{\partial \dot{д_{к}}})) \frac{\partial д_{к}}{\partial β} г т

$\frac{dI}{d\beta}=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha\left(\frac{\partial f_\alpha}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}}\right)\right)\frac{\partial q_k}{\partial\beta}\mathrm dt$ где

β

$\beta$ обозначает параметр малого изменения пути:

\begin{aligned} д_{1} (т, β) & "=" д_{1} (т, 0) + β η_{1} (т) \\ д_{2} (т, β) & "=" д_{2} (т, 0) + β η_{2} (т) \\ ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} q_1(t,\beta)&=q_1(t,0)+\beta\eta_1(t)\\ q_2(t,\beta)&=q_2(t,0)+\beta\eta_2(t)\\ &\ \,\,\vdots \end{align}$ Используя тот же аргумент, что и в части голономного ограничения в разделе 2.4, я получаю

\frac{\partial л}{\partial д_{к}} - \frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial \dot{д_{к}}} + \sum_{α "=" 1}^{м} {мю}_{α} (\frac{\partial ф_{α}}{\partial д_{к}} - \frac{г}{г т} \frac{\partial ф_{α}}{\partial \dot{д_{к}}}) "=" 0

$\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha \left(\frac{\partial f_\alpha}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}}\right)=0$ для

k = 1, . . ., n

$k=1,...,n$ .

Что мне не хватает?

Диракология

Я почти уверен, что вывод не так прост, как может предположить Гольдштейн. Обратите внимание, что если вы будете внимательно следовать своему подходу, вы получите (только одно ограничение для простоты)

\frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} + μ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} (μ \frac{\partial f}{\partial {\dot{q}}_{i}}) = 0

$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+\mu\frac{\partial f}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\mu\frac{\partial f}{\partial\dot q_i}\right)=0$ , так как множитель зависит от времени. Это означает, что вы должны знать производную по времени от

μ

$\mu$ но это не имеет особого смысла (по крайней мере для меня).

диракула

Насколько я могу судить, ваша формулировка ограничений такая же, как и в третьем издании, но результат, который вы цитируете, похоже, такой же, как и во втором издании (похоже, это уравнение 2.27 во втором издании, а не в третьем). Обработки (в частности, рассматриваемые виды ограничений) в этих двух случаях кажутся мне на самом деле очень разными, и что путаница возникает из-за их смешения. В частности, в третьем издании, где используются ограничения, которые вы используете, они дают результат, предложенный @Diracology.

Ответы (1)

Принцип Гамильтона с неголономными связями в Гольдштейне

Я почти уверен, что вывод не так прост, как может предположить Гольдштейн. Обратите внимание, что если вы будете внимательно следовать своему подходу, вы получите (только одно ограничение для простоты) $\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+\mu\frac{\partial f}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\mu\frac{\partial f}{\partial\dot q_i}\right)=0$ , так как множитель зависит от времени. Это означает, что вы должны знать производную по времени от $\mu$ но это не имеет особого смысла (по крайней мере для меня).
Насколько я могу судить, ваша формулировка ограничений такая же, как и в третьем издании, но результат, который вы цитируете, похоже, такой же, как и во втором издании (похоже, это уравнение 2.27 во втором издании, а не в третьем). Обработки (в частности, рассматриваемые виды ограничений) в этих двух случаях кажутся мне на самом деле очень разными, и что путаница возникает из-за их смешения. В частности, в третьем издании, где используются ограничения, которые вы используете, они дают результат, предложенный @Diracology.

Qмеханик · Answer 1

TL;DR: Обратите внимание, что обработка уравнений Лагранжа для неголономных ограничений в работах. 1 и 2 несовместимы с законами Ньютона и были удалены на домашней странице с исправлениями для Ref. 2. См. ссылку. 3 для деталей.

Более длинное объяснение:

Суть раздела 1.4 Гольдштейна заключалась в том, чтобы начать с принципа Даламбера (DAP) и вывести уравнения Лагранжа (LE) для голономных ограничений. $^1$ .
Поэтому (хотя Гольдштейн, по общему признанию, не заявляет об этом ясно $^2$ ), основной смысл раздела 2.4 должен состоять в том, чтобы начать с DAP и вывести LE для аффинных неголономных ограничений (= полуголономных ограничений ).
На самом деле, в более общем смысле, для независимых неголономных ограничений одной формы
$\begin{matrix} (NH1C) & \begin{aligned} ю_{ℓ} \equiv & \sum_{Дж "=" 1}^{н} а_{ℓ Дж} (д, \dot{д}, т) г д^{Дж} + а_{ℓ 0} (д, \dot{д}, т) г т "=" 0, \\ ℓ е & {1, \dots, м}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\omega_{\ell}~\equiv~& \sum_{j=1}^na_{\ell j}(q,\dot{q},t)\mathrm{d}q^j+ a_{\ell 0}(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t~=~0, \cr \ell~\in~&\{1,\ldots, m\}, \end{align} \tag{NH1C}$ можно показать, что DAP приводит к LE $\begin{matrix} (LE) & \begin{aligned} \frac{г}{г т} \frac{\partial Т}{\partial {\dot{д}}^{Дж}} - \frac{\partial Т}{\partial д^{Дж}} "=" & {Вопрос}_{Дж} + \sum_{ℓ "=" 1}^{м} λ^{ℓ} а_{ℓ Дж}, \\ Дж е & {1, \dots, н} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial T}{\partial q^j}~=~&Q_j+\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell} a_{\ell j}, \cr j~\in ~&\{1,\ldots, n\}.\end{align} \tag{LE}$
Теперь исх. 1 и 2 вместо этого используют независимые неголономные ограничения.
$\begin{matrix} (НХК) & ф_{ℓ} (д, \dot{д}, т) "=" 0, ℓ е {1, \dots, м} . \end{matrix}$ $f_{\ell}(q,\dot{q},t)~=~0, \qquad \ell~\in~ \{1,\ldots, m\}. \tag{NHC}$ уравнения (NHC) и (NH1C) эквивалентны для аффинных неголономных связей, но не в общем случае.
уравнение (2.27) в работе. 1 по существу являются уравнениями Четаева (УЭ) [5]
$\begin{matrix} (CE) & \begin{aligned} \frac{г}{г т} \frac{\partial Т}{\partial {\dot{д}}^{Дж}} - \frac{\partial Т}{\partial д^{Дж}} "=" & {Вопрос}_{Дж} + \sum_{ℓ "=" 1}^{м} λ^{ℓ} \frac{\partial ф_{ℓ}}{\partial {\dot{д}}^{Дж}}, \\ Дж е & {1, \dots, н} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial T}{\partial q^j}~=~&Q_j+\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell}\frac{\partial f_{\ell}}{\partial \dot{q}^j}, \cr j~\in~& \{1,\ldots, n\}. \end{align}\tag{CE}$ DAP плюс аффинные неголономные ограничения (где $\frac{\partial f_{\ell}}{\partial \dot{q}^j}$ имеет максимальный ранг) влекут КУ, но не для общих неголономных ограничений [6].

Использованная литература:

H. Гольдштейн, Классическая механика, 3-е изд., 2013; Раздел 2.4. уравнение (2.26) в лучшем случае неверно/вводит в заблуждение.
Г. Гольдштейн, Классическая механика, 3-е изд., 2001; Раздел 2.4. Домашняя страница ошибок . (Обратите внимание, что эта критика касается только обработки в 3-м издании; результаты во 2-м издании верны.)
М. Р. Фланнери, Загадка неголономных ограничений, Am. Дж. Физ. 73 (2005) 265 .
Э. Дж. Салетан и А. Х. Кромер, Вариационный принцип для неголономных систем, Am. Дж. Физ. 38 (1970) 892 . Ссылка 1 цитирует ссылку. 4.
Н.Г. Четаев, Изв. физ.-мат. Обск. каз. ун-т 6 (1933) 68. Терм Четаева $\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell} \frac{\partial f_{\ell}}{\partial \dot{q}^j}$ инвариантен относительно перепараметризации ограничений $f^{\prime}_k= f_{\ell} M^{\ell}{}_k$ и $\lambda^{\ell}=M^{\ell}{}_k\lambda^{\prime k}$ .
М. Р. Фланнери, Аналитическая динамика Даламбера-Лагранжа для неголономных систем, J. Math. физ. 52 (2011) 032705 ; п. 22.

--

$^1$ В этом ответе мы будем предполагать правило коммутативности

\begin{matrix} (CR) & \frac{г}{г т} дельта д^{Дж} "=" дельта \frac{г}{г т} д^{Дж}, \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\delta q^j=\delta \frac{d}{dt}q^j,\tag{CR}$ ср. например, этот связанный пост Phys.SE.

$^2$ Гольдштейн ошибочно ссылается на принцип Гамильтона , что противоречит основной парадигме использования законов Ньютона в качестве первого принципа.

Идея на потом: рассмотрим гамильтонов лагранжиан $L_H=\sum_{j=1}^np_j\dot{q}^j -H(q,p,t) +\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell} f_{\ell}(q,p,t)$ .
Примечания на потом: неголономные ограничения $f_{\ell}(q,\dot{q},t)=0$ с соответствующим ранговым условием можно привести к нормальной форме $\dot{q}^{\ell}-g^{\ell}(q,\text{other }\dot{q},t)=0$ . Непонятно, как применять принцип Даламбера. Нормальная форма $\dot{q}^{\ell}-g^{\ell}(q,\text{other }\dot{q},t)=0$ не эквивалентен одной форме $\mathrm{d}q^{\ell}-g^{\ell}(q,\text{other }\dot{q},t)\mathrm{d}t=0$ . Если бы они были, это также нарушило бы уравнения Четаева.

Принцип Гамильтона с неголономными связями в Гольдштейне

ради

Диракология

диракула

Ответы (1)

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Путаница с виртуальными смещениями

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа из принципов Гамильтона и Даламбера

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа для обобщенных координат без «виртуальной работы»?

Уравнения Лагранжа для неголономной моногенной системы

Почему мы можем предполагать независимые переменные при использовании множителей Лагранжа в неголономных системах?

Принцип Гамильтона и виртуальная работа силами связи

Виртуальная работа: как приложенная сила связана с выбранными координатами?

Применение множителей Лагранжа в принципе действия