Применима ли теория фальсификации Поппера к математике?

Все наоборот. Фальсификация — это всего лишь статистическая форма доказательства от противного. В доказательстве от противного вы начинаете с предположения, что посылка p истинна. Затем вы показываете, что такое предположение приводит к заключению q, ложность которого уже доказана. Пока мы предполагаем, что наша аксиоматическая система логически непротиворечива, этот результат подразумевает, что p ложно: p -> q и ~q вместе влекут ~p.

При фальсификации/проверке гипотез мы начинаем с теории T, а затем делаем наблюдение O. Из T мы можем определить, насколько вероятно O. Если вероятность O при данном T низка, то мы можем сказать, что вероятность T при данном O низка. Конечно, если вероятность O при данном T равна 0, то мы приходим к абсолютной фальсификации, которая была бы точно такой же, как доказательство от противного.

Конечно, при фальсификации у нас редко бывают абсолюты, и, что еще хуже, мы на самом деле не проверяем одну теорию, а используем целую совокупность теорий, чтобы прийти к нашему заключению. Этот результат делает так немного более запутанным, и я обсуждаю этот вопрос более подробно здесь .

После реконструкции основ математики в 20 веке, т.е. избавления от знаменитых парадоксов (типа парадокса Рассела ), современная математика базируется на убеждении, что никакие другие парадоксы больше не появятся. Несмотря на многочисленные усилия, логикам так и не удалось доказать непротиворечивость систем аксиом современных теорий множеств (и в то же время не удалось найти новых парадоксов). Это означает, что теоретически возможно, что в будущем кто-то найдет новый парадокс, следствием чего станет то, что некоторые математические результаты (возможно, большая их часть) окажутся ложными. Это можно рассматривать как свидетельство фальсифицируемости математики.

Конечно не применяется. Это относится только к естествознанию. И даже там это не везде применимо. Строго говоря, это применимо только там, где можно проводить эксперименты в контролируемой среде, т. е. проверять гипотезы.

Это, ИМХО, исключает, например, теорию эволюции. Хотя эта теория прекрасно объясняет развитие жизни, она не может делать никаких предсказаний. Следовательно, тестировать нечего, и это не относится к сфере деятельности Поппера.

хотя ее часто называют «языком науки», математика — это не то же самое, что наука (или, точнее, естествознание).

Математика — это конкретное приложение философии и логики к понятию количества. в то время как в Науке количество «вещества» , чем бы оно ни было, бросается в глаза, методы математики необходимы для более полного понимания того, что представляют собой количества, как они могут быть связаны, и чтобы размышлять о том, как некоторые количества могут быть связаны с другие. в этом есть предсказания того, как будут вести себя конкретные физические или естественные величины, разрабатываются эксперименты, делаются наблюдения, и эти предсказания подтверждаются или опровергаются. научные теории могут быть разработаны и поддержаны из этого.

но в чистой математике такого аналога нет . иногда выдвигаются догадки (например , постулат Бертрана или Великая теорема Ферма ), но они остаются лишь догадками, пока не будут доказаны выводом , а не наблюдением , как это делается в науке.

теперь эти две догадки, ныне доказанные математические факты никогда не будут опровергнуты в будущем. это также отличается от фальсифицируемости в науке. Общая теория относительности в настоящее время кажется неопровержимой истиной, но в другое время так же было с ньютоновской механикой и гравитацией , но теперь мы понимаем, что это очень близкое приближение к истине для малых относительных скоростей, а не для чрезвычайно интенсивных гравитационных полей. поэтому ничто в науке не имеет статуса никогда, никогда не фальсифицируемого.

но в математике правильно доказанная теорема никогда не будет опровергнута при тех же аксиомах, что и теорема.

это другое. математика и естествознание не одно и то же. математика, хотя и важный инструмент в науке, не является наукой . Попперовская фальсифицируемость применима и к науке . это демаркация того, что является наукой, а что нет. не все ученые согласны с этим разграничением, но я согласен.

Абсолютно понятие фальсифицируемости применимо к математике (по крайней мере, в грубо метафорическом смысле, а может и в гораздо большей степени). Я не большой эксперт по Попперу, но с тех пор, как я его услышал, я думаю, что он, возможно, более актуален/применим к математике, чем почти любая другая наука/область в следующем смысле.

Математика работает за счет продвижения гипотезы, проверки и проверки. В этом отношении она ничем не отличается от любой другой научной области и во многом воплощает все остальные в более чистой форме. Гипотезу обычно называют «гипотезой». Есть много открытых догадок, некоторые довольно известные и очень старые. (например, существуют греческие проблемы теории чисел, которым более двух тысячелетий), но единственный контрпример — это фальсификация гипотезы. Обратите внимание, что не нужно проводить сложные эксперименты, чтобы опровергнуть или воспроизвести фальсифицируемое утверждение. Это все абстрактно, церебрально/ментально .

Однако в настоящее время в математике существует даже экспериментальная / эмпирическая фальсифицируемость , которая все более широко используется / значительно используется: компьютеры используются для исследования предположений и поиска «не слишком больших» контрпримеров.

Обратите внимание, однако, что в некоторых смыслах в математике невозможна опровержимость. неразрешимые проблемы не имеют алгоритмических ответов (например, 10-я проблема Гильберта , неразрешимость нахождения решений диофантовых многочленов). (На самом деле поразительно, как много параллелей в теории фальсифицируемости с неразрешимостью.)

Некоторые теоремы недоказуемы. Некоторые проблемы чрезвычайно сложны и никогда не могут быть решены (например, гипотеза Римана открыта через 1,5 века даже после интенсивной фокусировки) и т. д. Кроме того, проблема воспроизводимости фальсифицируемости поднимает голову с помощью компьютерных доказательств, например теорема. Можно ли им доверять?

Заманчиво предположить, что все правильно построенные математические гипотезы поддаются фальсификации , и Гильберт рано верил в это и писал об этом, и эта идея мотивировала некоторые из его собственных гипотез, но, конечно, Гёдель поразительно доказал обратное.

Другая возникающая проблема — «доказательства, которые позже оказались неверными» (Mathoverflow). Таким образом, человеческая ошибочность и фальсифицируемость взаимосвязаны. Во всяком случае, можно сказать, что математики более строги и привержены фальсифицируемости, чем любые другие «ученые».

Математика — это раздел метафизики, согласно Попперу, см. «Реализм и цель науки», часть I, главу III. Поппер не осуждает метафизику по сравнению с наукой. Некоторые люди хотят сделать такой вывод, потому что они некритически восхищаются всем, что называют наукой, вместо того, чтобы делать собственные суждения.

О паре других точек зрения на математику, которые кажутся в целом согласующимися с эпистемологией Поппера, см. «Ткань реальности» Дэвида Дойча, глава 10, и «Доказательства и опровержения» Лакатоса. В качестве примечания: я не рекомендую никаких других материалов, написанных Лакатосом, который написал много материалов, приписывая Попперу позиции, которые он никогда не отстаивал.

Как следствие некоторых других ответов здесь, стоит отметить, что то, считаете ли вы математику фальсифицируемой, вероятно, зависит от вашего понимания того, что такое математика.

С формальной точки зрения математики просто манипулируют строками символов в соответствии с правилами. Таким образом, сама математика не может быть фальсифицирована, хотя всегда могут быть ошибки, которые необходимо исправить. С этой точки зрения только тогда, когда струнам дается интерпретация, возникает фальсифицируемое суждение.

С точки зрения эмпиризма, вопрос о том, можно ли опровергнуть математику, идет рука об руку с вопросом о том, является ли логика эмпирической. Это вопрос, по которому много написано. Известно, что Куайн считал, что все наши знания, включая логику, холистичны по своей природе и фальсифицируемы только в целом, а не на основе предложения за предложением. Следовательно, даже логические или математические утверждения могут быть пересмотрены в свете будущих знаний — они не имеют особого априорного статуса — они просто относительно хорошо защищены от пересмотра, потому что играют важную и центральную роль в организации нашей сети убеждений. Кроме того, Патнэм написал влиятельную статью под названием «Эмпирична ли логика?» в котором он предположил, что мы, возможно, захотим пересмотреть нашу логику в свете квантовой механики.

С точки зрения логициста, математика сводится к логике, поэтому математическое утверждение фальсифицируемо только в том смысле, что можно показать, что оно влечет за собой логическую непоследовательность.

Для интуициониста математическое суждение — это нечто, построенное на основе интуиции математика. Следовательно, можно разумно предположить, что математика фальсифицируема в той же степени, в какой фальсифицируема интуиция математика.

Что касается математического платонизма: я не уверен, что действительно понимаю его, но я полагаю, что платоники считали бы математику фальсифицируемой, только не эмпирической.

Я продолжу отстаивать свою крошечную позицию меньшинства, что математика является отраслью психологии.

Математика остается наукой. Это наука, которая пытается определить мыслительные процессы и формы идеализации, общие для людей, которые улучшают наше влияние на мышление и науку.

Математические дисциплины не страдают от конфликта с фактами, но они явно становятся неуместными, когда факты, к которым они применяются, не имеют значения. Ложным, когда математика «фальсифицируется» и становится неактуальной, является идея о том, что данный вопрос интересен миру в целом или имеет смысл, потому что он отражает важное понимание.

Поскольку теоремы в математике - это те формулы, которые доказаны, и каждая доказанная формула верна (полнота логики 1-го порядка), фальсифицируемость не может быть применена к теоремам в математике.