Какова релевантность применимости к естественным наукам в чистой математике?

То, что описано в ОП, относится к той стороне математики, которую Куайн назвал «развлекательной». Но есть и другая сторона, которая по-прежнему охватывает большую часть «чистой» математики, гораздо более тесно связанной с эмпирическими науками. Грубо говоря, это та сторона, которая предоставляет «репрезентативные средства» для моделирования в естественных науках. Поскольку мы не знаем заранее, какие моделирующие устройства пригодятся в будущем, «свободная игра» имеет решающее значение для успеха и этой стороны. Вот из «Ответа Куайна Парсонсу» (1986) , где он классифицирует математику на прикладную, ее «округление» и «воссоздание»:

« Чистая математика, на мой взгляд, прочно встроена в нашу систему мира как неотъемлемая часть. Таким образом, мой взгляд на чистую математику строго ориентирован на применение в эмпирической науке. потребности приложения. Это действительно так, но я вижу эти излишества как упрощенный вопрос округления. У нас есть скромный пример процесса уже в иррациональных числах: никакое измерение не может быть слишком точным, чтобы его можно было приспособить к рациональному числу, но мы допускаем дополнения, чтобы упростить наши вычисления и обобщения.

Теория высших множеств примерно такая же. Я признаю неисчислимые бесконечности только потому, что они навязаны мне простейшими известными систематизациями более приятных вещей. Величины, превышающие такие требования, например, בω или недоступные числа, я рассматриваю только как математическое развлечение и без онтологических прав. Множества, совместимые с «V = L» в смысле монографии Гёделя, обеспечивают удобную отсечку. "

Существует обширная литература по этому вопросу под заголовком аргумента о незаменимости Куайна-Патнэма.относительно того, какая часть математики достаточно необходима, чтобы унаследовать «онтологические права» от эмпирических теорий, которые она обслуживает (и, следовательно, считается «закруглением»). В этом вопросе строгий минимализм Куайна и, в частности, его отсечка на V = L подверглись резкой критике, в том числе со стороны его собственных учеников, Парсонса и Мэдди. Мэдди, например, выступает за максимизацию математических объектов как наиболее прагматичную позицию, учитывая роль математики в науке, а не за минимизацию Куайна. И разрыв его связи между незаменимостью и платонизмом в отношении математических сущностей теперь является господствующей точкой зрения: репрезентативные средства могут быть незаменимы, не придавая никакого смысла реального существования сущностям, которые они постулируют.

Это объясняет безразличие (иногда даже пренебрежение) многих математиков к любым конкретным приложениям математики к практическим вопросам. Если цель состоит в том, чтобы максимизировать репрезентативные средства, не имеет большого значения, использовались ли они уже как-то или еще нет. История строгости также вписывается в эту картину. Если развитие математики напрямую не контролируется эмпирической применимостью, вопреки Куайну, нужны отдельные средства контроля, чтобы ограничить накопление ошибок, формализация и строгость — это как раз то, что нужно. С другой стороны, в прикладных областях, где математический бессмыслица скорее всего приведет к эмпирическому несоответствию, причем быстро, можно позволить себе быть небрежным, по крайней мере, таково обычное отношение. Это подтверждается феноменом теории струн, которая в настоящее время отрезана от эмпирической проверки.Медаль Филдса Виттена является ранним подтверждением этого, как и недавняя работа Вафы .

Ленг в Что не так с незаменимостью? даже утверждает, что в смысле Куайна вся математика является «развлекательной», но это не означает, что это просто «развлечение» или что она оторвана от реальности:

Эти наблюдения естественным образом ведут к пониманию отношений между математикой и наукой, в которых области математики используются для моделирования физических явлений... Если Коливен прав (а я думаю, что он прав), что математика, которую наука не считает true следует рассматривать как развлекательную (и придавать ей некоторый важный статус как таковой), тогда из модельной картины отношений между математикой и наукой следует, что вся математика является развлекательной.

Успех этого моделирования не должен вызывать удивления: многие математические истории, которые мы создаем, создаются с учетом научных интерпретаций. Евклидову геометрию лучше всего понимать как математическую историю, аксиомы которой должны были моделировать истины о физическом пространстве. Он был разработан с учетом наших предположений о реальных точках и линиях, но всегда оставался эмпирическим вопросом, действительно ли он обеспечивает наилучшую модель точек и линий в физическом мире... Наша основная арифметика разработана так, чтобы моделировать наши счетная практика. На самом деле, он делает это настолько успешно, что мы вообще не склонны считать его образцом. Точно так же мы можем видеть, что наш язык действительных чисел в математике был создан для моделирования наших методов измерения. "

В самом деле, нетрудно связать даже самые чистые из чистых «математических игр» с очень скромными и приземленными корнями через шесть (часто две-три) степени разделения, несмотря на минимализм Куайна и хардиподобное презрение к приложениям (см . введены понятия чистой и прикладной математики? ). Это подтверждает идею Витгенштейна о том, что математика, включая ее бесплатные игровые элементы, «укрепляет» эмпирические закономерности, присущие нашей практике совладания с миром. Это означает, что мы ограничиваем некоторое их приближение в аксиоматических системах, а затем возводим их в статус без исключений, запрещая эмпирические «отклонения», см. « Эмпирические закономерности в философии математики Витгенштейна» Штайнера .

Некоторыми другими хорошими источниками по этому вопросу являются рецензия Перессини на книгу Коливана «Незаменимость математики» (Коливэн — один из последних несгибаемых защитников ортодоксии Квина) и « Прикладная математика, экзистенциальная приверженность» Аззуни .