В моем классе говорили, что ансамблевые разложения оператора плотности не уникальны, а существующие связаны унитарным оператором. Я пытаюсь это доказать, но где-то застреваю на этом пути.
Начнем с предположения о двух разных разложениях оператора плотности :
Теперь эти два разложения живут в гильбертовом пространстве. . Затем мы можем определить очистку обоих, используя систему, описываемую гильбертовым пространством. размера , чтобы мы получили и .
Теперь здесь мы можем использовать то, что, поскольку эти чистые состояния являются очисткой одного и того же оператора плотности, должно существовать унитарное соединяя их: .
Вот где я застрял. Я должен быть в состоянии использовать это, чтобы доказать унитарное отношение между и , но мне не очевидно, как я должен это сделать.
Обновление: просмотрев комментарии к первому вопросу, я должен был написать, что и состояния НЕ должны быть ортонормированными сами по себе.
Докажем следующую теорему:
Позволять быть разложением по собственным значениям и ( ). Затем, если и только если
с , т.е. является изометрией.
Доказательство :
Направление «если» простое:
Чтобы доказать обратное, пусть
Если не образуют ортонормированного базиса, мы можем обобщить теорему, пройдя через ортонормированный базис : Затем,
Вы, конечно, хотите иметь и , или какое-либо эквивалентное условие, гарантирующее, что оба разложения ансамбля оптимальны. В противном случае легко придумать множество различных совершенно не связанных друг с другом декомпозиций.
В силу условия оптимальности оба разложения являются собственными разложениями . Следовательно и , если мы закажем и по убыванию величины. и для конкретного собственного значения являются ортонормированным базисом для соответствующего собственного пространства, поэтому они связаны унитарным оператором. Для глобального унитарного оператора расширьте и к ортонормированному базису, а затем просто сопоставьте к . Это работает, даже если и не заказывают, только из-за и .
Так что, возможно, реальная задача здесь состоит в том, чтобы показать, что оптимальная декомпозиция подразумевает . Это связано со свойствами сингулярного разложения , которое дает краткое описание оптимальных приближений по норме Фробениуса и спектральной норме . Примечание: условие и недостаточно для описания такого рода оптимальности, хотя я изначально утверждал это. Таким образом, этот вопрос оказывается немного сложным, потому что описание смысла, в котором разложение является оптимальным, нетривиально, если вы просто не ссылаетесь на разложение по сингулярным значениям для этой части.
Вот простой контрпример к комментарию Норберта Шуха о том, что «два разложения связаны изометриями, верно независимо от того, ортонормированы ли векторы»:
Никакая изометрия не может отображать к , даже без масштабирования, потому что изометрии сохраняют углы. Первая пара векторов почти параллельна, а вторая пара векторов ортогональна.
Марис Озолс
пользователь129412
Марис Озолс