Фактор симметрии у Средненицкого?

Question

Фактор симметрии у Средненицкого?

Квантовая спагеттификация

Следующая диаграмма приведена в Srednicki pg62 рисунок 9.7:

Средненицкий дает этой диаграмме коэффициент симметрии $S=2^2=4$ . Но используя метод, который работает на любой другой диаграмме, я получаю $S=2$ (способ приведен ниже). Я что-то упустил или фактор симметрии, указанный в книге, неверен?

Мой метод

Мы разделяем каждую из вершин на 3 и подсчитываем количество способов, которыми мы можем нарисовать каждую линию между двумя вершинами (как показано ниже): число перед скобками указывает количество способов, а число в скобках указывает порядок, который я выбрал их. Кроме того, у нас есть коэффициент $^4C_2 \times 2$ для обмена $4$ вершин (с учетом того, что две вершины идентичны). Таким образом, мы получаем коэффициент симметрии:
$С^{- 1} "=" \frac{3 \times 3 \times 6 \times 6 \times 2 \times 2 \times 1}{(3!)^{4} \times 4!} \times^{4} С_{2} \times 2$ $S^{-1}=\frac{3\times 3\times 6 \times 6\times 2 \times 2 \times 1}{(3!)^4 \times 4!} \times{^4C_2}\times 2$ $"=" \frac{3 \times 3 \times 6 \times 6 \times 2 \times 2 \times 1}{(3!)^{4} \times 4!} \frac{4!}{2! 2!} \times 2$ $=\frac{3\times 3\times 6 \times 6\times 2 \times 2 \times 1}{(3!)^4 \times 4!} \frac{4!}{2!2!}\times 2$ $"=" 1 / 2$ $=1/2$ Таким образом $S=2$

Ответы (1)

Фактор симметрии у Средненицкого?

Абдельмалек Абдесселам · Answer 1

Ты прав. Вы в основном используете метод 1) из моего ответа на проблему понимания фактора симметрии в диаграмме Фейнмана , и вы справились с этим как чемпион. Если вы используете метод 2) из того же ответа, вы также обнаружите, что существует только один нетривиальный автоморфизм. Думайте о графике как о «тета», дремлющем в гамаке, прикрепленном к оси, заданной двумя внешними ногами. Этот автоморфизм представляет собой поворот на 180 градусов вокруг этой оси.

PS: Если вы видели двухэтапные эксперименты по элементарной вероятности или более общие методы подсчета, основанные на деревьях решений, то вы в основном этим и занимаетесь. Я рекомендую сначала выбрать вершины: 4 варианта для соседа левой внешней ноги, умноженные на 3 варианта для соседа правой ноги, а затем посмотреть на количество сжатий внутренней линии. Конечно $4\times 3={}^{4}C_{2}\times 2$ .

Изменить в соответствии с комментарием AFT: приведенный выше ответ основан на предположении, что вычисляется двухточечная функция, а не вакуумная диаграмма. Обратите внимание, что вопрос о факторах симметрии относится скорее к математике, чем к физике. Правильная установка для обработки этих факторов со строгостью и точностью — это теория комбинаторных видов Джояла: https://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorial_species . Вы можете увидеть, как это можно применить к конкретному контексту диаграмм Фейнмана, в моей статье «Диаграммы Фейнмана в алгебраической комбинаторике» . В статье рассматривается сложная бозонная модель с $\bar{\phi}\phi^n$ взаимодействие, но его легко транспонировать к реальному скаляру $\phi^3$ модель, как в вопросе ОП.

Фактор симметрии у Средненицкого верен — это действительно так. $S=4$ . Это легко подтверждается простым вычислением, скажем, в Mathematica. Обратите внимание, что Средницкий считает внешние вершины непомеченными, поэтому вы должны учитывать их перестановки. Возможно, этот фактор $2$ это то, чего вам (и ОП) не хватает. Если вам так хочется, явно разложите интеграл по путям и убедитесь сами, что диаграмма содержит множитель $4$ . Если вы расширите двухточечную функцию, она будет иметь множитель $2$ . Это связано с тем, что диаграммы в последнем имеют помеченные листья, в отличие от диаграмм в первом.
@AccidentalFourierTransform: понятно. Средненицкий делает кое-что немного нестандартное, а именно: он вычисляет вакуумные диаграммы теории с $\phi^3$ и $\phi$ вершины. Это действительно приводит к фактору симметрии $S=4$ потому что два $1$ -валентные вершины в левой и правой частях диаграммы считаются внутренними. Мой ответ был основан на предположении, что кто-то пытается вычислить двухточечную функцию. $\langle\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle$ который дает $S=2$ потому что подсчитанные автоморфизмы должны удерживать внешние ноги фиксированными.
+1 Теперь я согласен с вашим ответом. В главе, которую читает ОП, Средненицкий объясняет, как вычислить статистическую сумму. $Z[j]$ . В этот момент листья неразличимы, и поэтому вы должны учитывать их перестановки. Когда вы начинаете принимать функциональные производные $\frac{\delta}{\delta j_1}\cdots \frac{\delta}{\delta j_n}$ вычислить $n$ -точечной функции, листья приобретают разметку (от $1$ к $n$ ), и поэтому группа автоморфизмов содержит изоморфизмы, фиксирующие только внешние метки.

Фактор симметрии у Средненицкого?

Квантовая спагеттификация

Ответы (1)

Абдельмалек Абдесселам

СлучайныйПреобразование Фурье

Абдельмалек Абдесселам

СлучайныйПреобразование Фурье

Фактор симметрии для диаграмм Фейнмана в ϕ4ϕ4\phi^4-теории для nnn-точечной функции Грина

Фактор симметрии nnn-точечной однопетлевой диаграммы [дубликат]

Проблема понимания фактора симметрии в диаграмме Фейнмана

Лоренц-инвариантность волнового уравнения

Фактор симметрии по теореме Вика

Однопетлевая диаграмма ϕ→ϕϕ→ϕ\phi \to \phi в теории gϕ3gϕ3g\phi^3

Верна ли диаграмма Фейнмана, изображающая вакуумный пузырь, «который становится реальным»?

Ангармонический осциллятор QM - диаграммы Фейнмана, расчет свободной энергии

Эквивалентное сопротивление сложной цепи [закрыто]

Сложный лагранжиан — проверка правил Фейнмана