Пропагатор Фейнмана с общим параметром ξξ\xi

Question

Пропагатор Фейнмана с общим параметром ξξ\xi

Физика
распространитель
диаграммы фейнмана
преобразование Фурье
домашнее задание-и-упражнения
квантовая электродинамика

Physics_maths

Эй, из моих заметок в моей книге PS кажется, что я решил это когда-то в прошлом, но на этот раз я не могу получить правильные индексы. Таким образом, при выводе фотонного пропагатора Фейнмана, который включает общий параметр $\xi$ (см. уравнение PS 9.58 стр. 297) PA найти решение следующего уравнения

\begin{matrix} (9.57б) & [- к^{2} г_{мю ν} + \underset{- х}{\underset{⏟}{(1 - ξ^{- 1})}} к_{мю} к_{ν}] {\tilde{Д}}_{Ф}^{ν р} "=" я {дельта}_{мю}^{р} \end{matrix}

${\large[}-k^2g_{\mu\nu}+\underbrace{(1-\xi^{-1})}_{-\chi}k_\mu k_\nu{\large]}\tilde{D}_F^{\nu\rho} = \mathrm{i}\delta_\mu^{\rho}\tag{9.57b}$

Я пытаюсь переписать это как

[г_{мю ν} + х \frac{к_{мю} к_{ν}}{к^{2}}] {\tilde{Д}}_{Ф}^{ν р} "=" \frac{- я}{к^{2} + я 0} {дельта}_{мю}^{р}

${\large[}g_{\mu\nu}+\chi \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}{\large]}\tilde{D}_F^{\nu\rho} = \frac{-\mathrm{i}}{k^2+\mathrm{i}0}\delta_\mu^{\rho}$

а потом попробуй найти обратное

[г_{мю ν} + х \frac{к_{мю} к_{ν}}{к^{2}}]

${\large[}g_{\mu\nu}+\chi \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}{\large]}$

используя тождество для матриц

\begin{matrix} (⋆) & (А + Б)^{- 1} "=" А^{- 1} - \frac{1}{1 + г} А^{- 1} Б А^{- 1} \end{matrix}

$\tag{$\star$}(A+B)^{-1} = A^{-1} - \frac{1}{1+g}A^{-1}BA^{-1}$

где $g= \mathrm{tr}(BA^{-1})$ ( см. этот ответ MSE ).

Как предлагается в этом связанном с Phys.SE посте, можно просто написать наиболее общее выражение (с учетом симметрии теории) для $\tilde{D}_F^{\mu\nu} = Ag^{\mu\nu}+B k^\mu k^\nu$ , подставить в уравнение $(9.57\mathrm{b})$ и найти функции $A$ и $B$ .

Но остается вопрос, можно ли использовать такую теорему линейной алгебры, как $(\star)$ выше? Какую трассировку следует использовать в этом случае и т. д.?

Ответ: кстати, знакомый фотонный пропагатор Фейнмана.

\begin{matrix} (9,58) & {\tilde{Д}}_{Ф}^{мю ν} (к) "=" \frac{- я}{к^{2} + я 0} [г^{мю ν} - (1 - ξ) \frac{к^{мю} к^{ν}}{к^{2}}] . \end{matrix}

$\tilde{D}_F^{\mu\nu}(k) = \frac{-\mathrm{i}}{k^2+\mathrm{i}0} {\large[}g^{\mu\nu}-(1-\xi) \frac{k^\mu k^\nu}{k^2}{\large]}.\tag{9.58}$

Qмеханик

Возможный дубликат: physics.stackexchange.com/q/137577/2451

Ответы (2)

Пропагатор Фейнмана с общим параметром ξξ\xi

Возможный дубликат: physics.stackexchange.com/q/137577/2451

ДжамалС · Answer 1

Хотя был дан правильный ответ, основанный на теореме Кена Миллера об обращении сумм матриц, его также можно решить с помощью более конкретной формулы Шермана-Моррисона .

Он утверждает при определенных условиях, что,

(А_{мю ν} + U_{мю} В_{ν})^{- 1} "=" А^{мю ν} - \frac{А^{мю λ} U_{λ} U_{о} А^{о ν}}{1 + В_{мю} А^{мю ν} U_{ν}} .

$(A_{\mu\nu} + U_\mu V_\nu)^{-1} = A^{\mu\nu} - \frac{A^{\mu\lambda}U_\lambda U_\sigma A^{\sigma \nu}}{1 + V_\mu A^{\mu\nu}U_\nu}.$

Чтобы упростить дело, мы переопределяем,

{\tilde{к}}^{мю} "=" \frac{\sqrt{х}}{| к |} к^{мю}

$\tilde{k}^\mu := \frac{\sqrt{\chi}}{|k|}k^\mu$

так что мы должны найти,

(η_{мю ν} + {\tilde{к}}_{мю} {\tilde{к}}_{ν})^{- 1} "=" η^{мю ν} - \frac{{\tilde{к}}^{мю} {\tilde{к}}^{ν}}{1 + \tilde{к} \cdot \tilde{к}} "=" η^{мю ν} - \frac{х}{1 + х} \frac{к^{мю} к^{ν}}{к^{2}}

$(\eta_{\mu\nu} + \tilde k_\mu \tilde k_\nu)^{-1} = \eta^{\mu\nu} - \frac{\tilde k^\mu \tilde k^\nu}{1+\tilde k \cdot \tilde k} = \eta^{\mu\nu} - \frac{\chi}{1+\chi} \frac{k^\mu k^\nu}{k^2}$

и отметив, что

\frac{х}{1 + х} |_{х "=" \frac{1}{ξ} - 1} "=" 1 - ξ

$\frac{\chi}{1+\chi} \bigg\vert_{\chi = \frac{1}{\xi}-1} = 1 - \xi$

восстанавливаем желаемый результат,

η^{мю ν} + (ξ - 1) \frac{к^{мю} к^{ν}}{к^{2}} .

$\eta^{\mu\nu} + (\xi-1) \frac{k^\mu k^\nu}{k^2}.$

тбули · Answer 2

Как видно из вашего вопроса выше, мы идентифицируем

А_{мю ν} "=" г_{мю ν}, Б_{мю ν} "=" х \frac{к_{мю} к_{ν}}{к^{2}}

$A_{\mu \nu} = g_{\mu \nu}, B_{\mu \nu} = \chi \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}$

Поскольку метрика Минковского является обратной самой себе, мы знаем, что

(А_{мю ν})^{- 1} "=" А^{мю ν} "=" г^{мю ν}

$(A_{\mu \nu})^{-1} = A^{\mu \nu} = g^{\mu \nu}$

Затем мы находим, что

г "=" т р (Б А^{- 1}) "=" т р (Б_{мю ν} А^{ν р}) "=" Б_{мю ν} А^{ν мю} "=" х \frac{к_{мю} к_{ν} г^{ν мю}}{к^{2}} "=" х

$g = \mathrm{tr}(B A^{-1}) = \mathrm{tr}(B_{\mu\nu} A^{\nu \rho} ) = B_{\mu\nu} A^{\nu \mu} = \chi \frac{k_\mu k_\nu g^{\nu \mu}}{k^2} = \chi$

И

(А_{мю ν} + Б_{мю ν})^{- 1} "=" А^{мю ν} - \frac{1}{1 + г} А^{мю р} Б_{р о} А^{о ν}

$(A_{\mu \nu} + B_{\mu \nu})^{-1} = A^{\mu \nu} - \frac{1}{1+g} A^{\mu \rho} B_{\rho \sigma} A^{\sigma \nu}$

Здесь я ввел новые индексы $\rho$ и $\sigma$ чтобы убедиться, что умножение матриц выполняется правильно. Подключив все, мы находим

{(г_{мю ν} + х \frac{к_{мю} к_{ν}}{к^{2}})}^{- 1} "=" г^{мю ν} - \frac{х}{1 + х} \frac{к^{мю} к^{ν}}{к^{2}}

$\left(g_{\mu \nu} + \chi \frac{k_\mu k_\nu}{k^2} \right)^{-1} = g^{\mu \nu} - \frac{\chi}{1+\chi} \frac{k^\mu k^\nu}{k^2}$

Переписав это в виде (9.58), оставляем читателю в качестве упражнения ;).

Пропагатор Фейнмана с общим параметром ξξ\xi

Physics_maths

Qмеханик

Ответы (2)

ДжамалС

тбули

Сколько контртерминов имеет КЭД?

Сложный лагранжиан — проверка правил Фейнмана

Перепишите диаграмму Фейнмана в позиционном пространстве в импульсном пространстве.

Поправка к скалярному пропагатору - производная связь

Безмассовый бозон в 2D и его (запаздывающий) пропагатор

Умножение пропагаторов

Пескин и Шредер: свободное распространение частиц

Закон обратных квадратов в измерениях DDD (два случая)

Упрощение выражения квантовой электродинамики

Безмассовое m=0m=0m=0 Четырехмерное преобразование Фурье (p2+iϵ)−2(p2+iϵ)−2(p^2 + i \epsilon)^{-2}