Безмассовое m=0m=0m=0 Четырехмерное преобразование Фурье (p2+iϵ)−2(p2+iϵ)−2(p^2 + i \epsilon)^{-2}

Question

Безмассовое m=0m=0m=0 Четырехмерное преобразование Фурье (p2+iϵ)−2(p2+iϵ)−2(p^2 + i \epsilon)^{-2}

Физика
распространитель
диаграммы фейнмана
преобразование Фурье
квантовая теория поля
Дирак-дельта-распределения

QuantumEyedea

Этот вопрос связан с этим . Я предполагаю, что мы находимся внутри или на световом конусе $s \leq 0$ в дальнейшем.

Предположим, меня интересует вычисление следующего преобразования Фурье в безмассовой $m=0$ случай:

ЧАС (Икс, у; м) "=" \int \frac{д^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{е^{- я п \cdot (Икс - у)}}{(п^{2} + м^{2} + я ϵ)^{2}}

$H(x,y;m) = \int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^4} \frac{e^{-i p \cdot (x-y)}}{(p^2 + m^2 + i \epsilon)^2}$

The $\epsilon$ существует в смысле рецепта Фейнмана. Мы знаем, что массовый $m \neq 0$ пропагатор задается;

г_{0} (Икс, у; м) "=" \int \frac{д^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{е^{- я п \cdot (Икс - у)}}{п^{2} - м^{2} + я ϵ} "=" - \frac{я}{4 π^{2}} \frac{м}{\sqrt{- с}} К_{1} (м \sqrt{- с}) - \frac{1}{4 π} дельта (с)

$G_0(x,y;m) \ = \ \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{e^{-i p \cdot (x-y)}}{p^2 - m^2 + i \epsilon} \ = \ - \frac{i}{4 \pi^2} \frac{m}{\sqrt{-s}} K_{1}\left( m\sqrt{-s} \right) - \frac{1}{4 \pi} \delta(s)$

Где $s = (x^0 - y^0)^2 - (\mathbf{x} - \mathbf{y})^2$ . Параметр $\mu = m^2$ , мы это замечаем;

\frac{\partial г_{0} (Икс, у; \sqrt{мю})}{\partial мю} "=" \frac{\partial}{\partial мю} (\int \frac{д^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{е^{- я п \cdot (Икс - у)}}{п^{2} - мю + я ϵ}) "=" \int \frac{д^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{е^{- я п \cdot (Икс - у)}}{(п^{2} - мю + я ϵ)^{2}} "=" ЧАС (Икс, у; \sqrt{мю})

$\frac{\partial G_0(x,y;\sqrt{\mu})}{\partial \mu} = \frac{\partial }{\partial \mu } \left( \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{e^{-i p \cdot (x-y)}}{p^2 - \mu + i \epsilon} \right) = \int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^4} \frac{e^{-i p \cdot (x-y)}}{(p^2 - \mu + i \epsilon)^2} = H(x,y;\sqrt{\mu})$

Таким образом, дифференцируя описанным выше образом, я смог найти:

ЧАС (Икс, у; м) "=" \frac{я}{8 π^{2}} К_{0} (м \sqrt{- с})

$H(x,y;m) = \frac{i}{8 \pi^2} K_{0}\left( m \sqrt{-s} \right)$

Это кажется хорошим ответом, однако что-то идет не так, когда я устанавливаю $m=0$ . Я считаю, что:

ЧАС (Икс, у; 0) "=" \underset{м \to 0^{+}}{лим} [\frac{я}{8 π^{2}} бревно (\frac{м (- с)}{4})]

$H(x,y;0) \ = \ \lim_{m\to 0^+} \left[ \frac{i}{8 \pi^2} \log\left( \frac{m(-s)}{4} \right) \right]$

Это означает, что преобразованная Фурье функция расходится, как бревно, когда я приравниваю массу к нулю. Почему это происходит! Конечно, мы можем исследовать безмассовые скалярные теории? Как можно исправить вышесказанное?

Петр Кравчук

Что заставляет вас думать, что это преобразование Фурье свободно от ИК-расходимости, которую вы наблюдаете? У вас есть

d^{4} p / p^{4}

$d^4 p/p^4$ для маленьких

p

$p$ , что предполагает логарифмическое ИК-расхождение. я думаю

i ϵ

$i\epsilon$ рецепт, который вы используете, не гарантирует, что пропагатор будет определен как распределение, близкое к

p = 0

$p=0$ (нет

p^{2} = 0

$p^2=0$ -- он регулирует сингулярность нулевого конуса).

QuantumEyedea

Я думаю, это хороший момент ... Я полагаю, я ожидал, что только петли могут расходиться (будь то ИК или УФ). Я думаю, нет причин, по которым преобразования Фурье не могут быть ИК-расходящимися.

QuantumEyedea

Вы говорите, что приведенное выше преобразование Фурье хорошо себя ведет на световом конусе для

m \neq 0

$m \neq 0$ хотя?

Петр Кравчук

Нет, я говорю, что

1 / (p^{2} + m^{2} + i ϵ)^{2}

$1/(p^2+m^2+i\epsilon)^2$ хорошо определяется как распределение вдали от

p = 0

$p=0$ . Это потому, что единственная проблема может исходить от импульсов на оболочке.

p^{2} + m^{2} = 0

$p^2+m^2=0$ , но подальше от

p = 0

$p=0$ твой

i ϵ

$i\epsilon$ предписание можно интерпретировать как добавление

\pm i ϵ

$\pm i\epsilon$ к

p^{0}

$p^0$ . Это означает, что у вас есть граничное значение голоморфной функции вблизи таких точек, и я считаю, что выполнены условия, чтобы она давала хорошее распределение. Около

p = 0

$p=0$ вы не можете переинтерпретировать свой

i ϵ

$i\epsilon$ - рецепт таким образом.

Петр Кравчук

Для

m \neq 0

$m\neq 0$ ваша функция интегрируема вблизи

p = 0

$p=0$ в любом случае, так что вы получите прекрасное преобразование Фурье. Для

m = 0

$m=0$ не очевидно, что ваш

i ϵ

$i\epsilon$ рецепт помогает в

p = 0

$p=0$ . Вы можете регулировать

p = 0

$p=0$ иначе, и тогда дистрибутив у вас будет неоднозначным вплоть до терминов, локализованных на

p = 0

$p=0$ , которые

δ

$\delta$ -функции и их производные. Поскольку, если вы интегрируете свою функцию импульсного пространства с чем-то, что обращается в нуль в

p = 0

$p=0$ результат однозначен, это означает, что у вас может быть только неоднозначность дельта-функции. Это именно то, что вы видите.

Петр Кравчук

Другими словами: по размерному анализу ваш результат должен быть безразмерным, и если

m = 0

$m=0$ тебе нечего умножать

s

$s$ чтобы сделать его безразмерным. Или, если вы продифференцируете свое преобразование Фурье, вы получите преобразование

p / (p^{2} + i ϵ)^{2}

$p/(p^2+i\epsilon)^2$ , который свободен от

p = 0

$p=0$ проблема, а значит

\partial_{x} H (x, y; 0)

$\partial_x H(x,y;0)$ однозначно, но это определяет только

H (x, y; 0)

$H(x,y;0)$ вплоть до постоянной смены.

QuantumEyedea

Так что я не уверен, понимаю ли я вышеизложенное, но могу ли я укротить это расхождение? С

\partial_{x_{μ}} H (x, y; 0)

$\partial_{x_{\mu}}H(x,y;0)$ определяет

H (x, y; 0)

$H(x,y;0)$ вплоть до постоянного сдвига, могу ли я определить что-либо о функции

H (x, y; 0)

$H(x,y;0)$ совсем? То есть есть ли способ регулировать это расхождение? Я не уверен, что этот вопрос вообще имеет смысл.

QuantumEyedea

Кое-что, что касается меня, это то, что как серия для

m

$m$ около нуля, мы имеем

\frac{1}{p^{2} - m^{2} + i ϵ} = \frac{1}{p^{2} + i ϵ} + \frac{m^{2}}{(p^{2} + i ϵ)^{2}} + \frac{m^{4}}{(p^{2} + i ϵ)^{3}} + . . .

$\frac{1}{p^2 - m^2 + i \epsilon} = \frac{1}{p^2 + i \epsilon} + \frac{m^2}{(p^2 + i \epsilon)^2} + \frac{m^4}{(p^2 + i \epsilon)^3} +...$ . Так что похоже на мою функцию

H (x, y; 0)

$H(x,y;0)$ коэффициент

m^{2}

$m^2$ в расширении

G (x, y; m)

$G(x,y;m)$ около

m = 0

$m=0$ . Разве это не должно быть конечным?

Петр Кравчук

Да, вы можете по-разному регулировать расходимость, и все они будут отличаться на аддитивную константу, потому что вы знаете производные от

H

$H$ однозначно. Что касается вашего второго вопроса,

G (x, y; m)

$G(x,y;m)$ не является аналитическим в

m = 0

$m=0$ , как вы себя в принципе и показали. Расширение

K_{1} (x)

$K_1(x)$ идет как

\frac{1}{x} + \frac{1}{4} x \log c x + o (x)

$\frac{1}{x}+\frac{1}{4}x\log c x+o(x)$ для некоторых

c

$c$ .

Ответы (1)

Безмассовое m=0m=0m=0 Четырехмерное преобразование Фурье (p2+iϵ)−2(p2+iϵ)−2(p^2 + i \epsilon)^{-2}

Что заставляет вас думать, что это преобразование Фурье свободно от ИК-расходимости, которую вы наблюдаете? У вас есть $d^4 p/p^4$ для маленьких $p$ , что предполагает логарифмическое ИК-расхождение. я думаю $i\epsilon$ рецепт, который вы используете, не гарантирует, что пропагатор будет определен как распределение, близкое к $p=0$ (нет $p^2=0$ -- он регулирует сингулярность нулевого конуса).
Я думаю, это хороший момент ... Я полагаю, я ожидал, что только петли могут расходиться (будь то ИК или УФ). Я думаю, нет причин, по которым преобразования Фурье не могут быть ИК-расходящимися.
Вы говорите, что приведенное выше преобразование Фурье хорошо себя ведет на световом конусе для $m \neq 0$ хотя?
Нет, я говорю, что $1/(p^2+m^2+i\epsilon)^2$ хорошо определяется как распределение вдали от $p=0$ . Это потому, что единственная проблема может исходить от импульсов на оболочке. $p^2+m^2=0$ , но подальше от $p=0$ твой $i\epsilon$ предписание можно интерпретировать как добавление $\pm i\epsilon$ к $p^0$ . Это означает, что у вас есть граничное значение голоморфной функции вблизи таких точек, и я считаю, что выполнены условия, чтобы она давала хорошее распределение. Около $p=0$ вы не можете переинтерпретировать свой $i\epsilon$ - рецепт таким образом.
Для $m\neq 0$ ваша функция интегрируема вблизи $p=0$ в любом случае, так что вы получите прекрасное преобразование Фурье. Для $m=0$ не очевидно, что ваш $i\epsilon$ рецепт помогает в $p=0$ . Вы можете регулировать $p=0$ иначе, и тогда дистрибутив у вас будет неоднозначным вплоть до терминов, локализованных на $p=0$ , которые $\delta$ -функции и их производные. Поскольку, если вы интегрируете свою функцию импульсного пространства с чем-то, что обращается в нуль в $p=0$ результат однозначен, это означает, что у вас может быть только неоднозначность дельта-функции. Это именно то, что вы видите.
Другими словами: по размерному анализу ваш результат должен быть безразмерным, и если $m=0$ тебе нечего умножать $s$ чтобы сделать его безразмерным. Или, если вы продифференцируете свое преобразование Фурье, вы получите преобразование $p/(p^2+i\epsilon)^2$ , который свободен от $p=0$ проблема, а значит $\partial_x H(x,y;0)$ однозначно, но это определяет только $H(x,y;0)$ вплоть до постоянной смены.
Так что я не уверен, понимаю ли я вышеизложенное, но могу ли я укротить это расхождение? С $\partial_{x_{\mu}}H(x,y;0)$ определяет $H(x,y;0)$ вплоть до постоянного сдвига, могу ли я определить что-либо о функции $H(x,y;0)$ совсем? То есть есть ли способ регулировать это расхождение? Я не уверен, что этот вопрос вообще имеет смысл.
Кое-что, что касается меня, это то, что как серия для $m$ около нуля, мы имеем $\frac{1}{p^2 - m^2 + i \epsilon} = \frac{1}{p^2 + i \epsilon} + \frac{m^2}{(p^2 + i \epsilon)^2} + \frac{m^4}{(p^2 + i \epsilon)^3} +...$ . Так что похоже на мою функцию $H(x,y;0)$ коэффициент $m^2$ в расширении $G(x,y;m)$ около $m=0$ . Разве это не должно быть конечным?
Да, вы можете по-разному регулировать расходимость, и все они будут отличаться на аддитивную константу, потому что вы знаете производные от $H$ однозначно. Что касается вашего второго вопроса, $G(x,y;m)$ не является аналитическим в $m=0$ , как вы себя в принципе и показали. Расширение $K_1(x)$ идет как $\frac{1}{x}+\frac{1}{4}x\log c x+o(x)$ для некоторых $c$ .

Шон Э. Лейк · Answer 1

Шон Э. Лейк

Проблема в том, что функция Грина не является аналитической на световом конусе, поэтому порядок пределов имеет значение.

Один из подходов — вернуться к дифференциальному уравнению, для решения которого предназначена эта цепочка. Вы можете показать, что если

[\frac{\partial^{2}}{\partial т^{2}} - \nabla^{2}] г (т, Икс; т^{'}, {Икс}^{'}) "=" дельта (т - т^{'}) дельта (Икс - {Икс}^{'})

$\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\right] G(t,\mathbf{x};t',\mathbf{x}') = \delta(t-t')\,\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')$ и мы хотим найти функцию, которая удовлетворяет

{[\frac{\partial^{2}}{\partial т^{2}} - \nabla^{2}]}^{2} г_{2} (т, Икс; т^{'}, {Икс}^{'}) "=" дельта (т - т^{'}) дельта (Икс - {Икс}^{'})

$\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\right]^2 G_2(t,\mathbf{x};t',\mathbf{x}') = \delta(t-t')\,\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')$ то следующие работы

г_{2} (т, Икс; т^{'}, {Икс}^{'}) "=" \int д^{4} {Икс}^{″} г (т, Икс; т^{″}, {Икс}^{″}) г (т^{″}, {Икс}^{″}; т^{'}, {Икс}^{'}) .

$G_2(t,\mathbf{x};t',\mathbf{x}') = \int \operatorname{d}^4 x'' G(t,\mathbf{x};t'',\mathbf{x}'')\, G(t'',\mathbf{x}'';t',\mathbf{x}').$

Хотя где взять этот подход «назад к началу», чтобы решить проблему, я не уверен. Одна из идей состоит в том, чтобы преобразовать Фурье пространственные координаты, дав вам ОДУ 4-го порядка, который вы можете решить для каждой моды, хотя неясно, какие граничные условия вам нужно применить к этому, чтобы получить пропагатор Фейнмана.

Я думаю, что тогда вам лучше всего будет использовать то, что я бы назвал «стандартным подходом». Вы просто берете исходное выражение для $H(x,y;m)$ с $m=0$ и оценить $p^0$ интеграл с помощью теоремы о вычетах из комплексного анализа. Остальные интегралы вы, вероятно, можете найти в таблице преобразований Фурье.

QuantumEyedea

Спасибо за ваши предложения. Я могу попытаться решить эту функцию с точки зрения DE 4-го порядка во времени. Однако я должен спросить, что вы имеете в виду, когда говорите о включении дельты в интеграл? Я не понимаю.

QuantumEyedea

PS Кроме того, разве безмассовый пропагатор не является дельта-функцией и

(4 p i s)^{- 1}

$(4 pi s)^{-1}$ ?

Шон Э. Лейк

- \frac{1}{4 π} дельта (с) "=" \frac{дельта (т^{2})}{4 π} "=" \frac{дельта (Δ т^{2} - | Δ Икс |^{2})}{4 π} "=" \frac{1}{4 π} (\frac{дельта (Δ т - | Δ Икс |)}{Δ т + | Δ Икс |} + \frac{дельта (Δ т + | Δ Икс |)}{Δ т - | Δ Икс |}) "=" \frac{1}{8 π} (\frac{дельта (Δ т - | Δ Икс |)}{| Δ Икс |} + \frac{дельта (Δ т + | Δ Икс |)}{| Δ Икс |})

$-\frac{1}{4\pi}\delta(s) = \frac{\delta(\tau^2)}{4\pi} = \frac{\delta(\Delta t^2 - |\Delta \mathbf{x}|^2)}{4\pi} = \frac{1}{4\pi} \left(\frac{\delta(\Delta t - |\Delta\mathbf{x}|)}{\Delta t +|\Delta\mathbf{x}|} + \frac{\delta(\Delta t + |\Delta\mathbf{x}|)}{\Delta t -|\Delta\mathbf{x}|}\right) = \frac{1}{8\pi}\left(\frac{\delta(\Delta t - |\Delta\mathbf{x}|)}{|\Delta\mathbf{x}|} + \frac{\delta(\Delta t + |\Delta\mathbf{x}|)}{|\Delta\mathbf{x}|}\right)$

Шон Э. Лейк

@Greg.Paul Для «Поместите дельта-функцию в интеграл» я имею в виду вставку

г (т, Икс; т^{'}, {Икс}^{'}) "=" \frac{дельта ([т - т^{'}]^{2} - | Икс - {Икс}^{'} |^{2})}{4 π}

$G(t,\mathbf{x};t',\mathbf{x}') = \frac{\delta([t-t']^2 - |\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^2)}{4\pi}$ в интеграл для

G_{2}

$G_2$ в моем ответе. Безмассовый пропагатор не

(4 π s)^{- 1}

$(4\pi s)^{-1}$ . Наиболее общая его форма

г (т^{2}) "=" \frac{дельта (т^{2})}{2 π} Θ (т - т^{'}) + А + Б \frac{дельта (т^{2})}{2 π} [Θ (т - т^{'}) - Θ (т^{'} - т)]

$G(\tau^2) = \frac{\delta(\tau^2)}{2\pi} \Theta(t-t') + A + B \frac{\delta(\tau^2)}{2\pi} \left[\Theta(t-t') - \Theta(t'-t)\right]$ с

τ^{2} \equiv [t - t^{'}]^{2} - | x - x^{'} |^{2}

$\tau^2 \equiv [t-t']^2 - |\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^2$ . Другими словами, предел нулевой массы на

K_{1}

$K_1$ термин является константой.

Шон Э. Лейк

И пропагандист Фейнмана исходит из выбора

B = - \frac{1}{2}

$B=-\frac{1}{2}$ чтобы получить функцию, симметричную отражению во времени.

QuantumEyedea

Я совершенно уверен, что пропагандист Фейнмана

\frac{1}{p^{2} - m^{2} + i ϵ}

$\frac{1}{p^2 -m^2 + i \epsilon}$ дан кем-то

- \frac{i}{4 π^{2}} \frac{1}{- Δ t^{2} + | Δ x |^{2}} - \frac{1}{4 π} δ (- Δ t^{2} + | Δ x |^{2})

$-\frac{i}{4\pi^2} \frac{1}{-\Delta t^2 +|\Delta \mathbf{x}|^2} - \frac{1}{4\pi} \delta( -\Delta t^2 +|\Delta \mathbf{x}|^2 )$ в позиционном пространстве. Как и в уравнении (26) этой статьи arxiv.org/pdf/0811.1261.pdf . Я что-то не понимаю? я знаю это

- \frac{i}{4 π^{2} (- s)}

$-\frac{i}{4\pi^2 (-s)}$ понимается как главная ценность...

QuantumEyedea

Или уравнение (45) из этого документа scipp.ucsc.edu/~haber/ph217/qftsol1_16.pdf .

Шон Э. Лейк

@Greg.Paul Интересно. Я так привык работать с каузальными пропагаторами, которые становятся только световыми конусами, что проглядел этого маленького зверя. Я уберу эту первую рекомендацию, так как она основана на этой ошибке.

Безмассовое m=0m=0m=0 Четырехмерное преобразование Фурье (p2+iϵ)−2(p2+iϵ)−2(p^2 + i \epsilon)^{-2}

QuantumEyedea

Петр Кравчук

QuantumEyedea

QuantumEyedea

Петр Кравчук

Петр Кравчук

Петр Кравчук

QuantumEyedea

QuantumEyedea

Петр Кравчук

Ответы (1)

Шон Э. Лейк

QuantumEyedea

QuantumEyedea

Шон Э. Лейк

Шон Э. Лейк

Шон Э. Лейк

QuantumEyedea

QuantumEyedea

Шон Э. Лейк

Пропагаторная поправка в теории ϕ4ϕ4\phi^4 — почему этот вековой рост не нарушает теорию возмущений?

Зависящий от обрезания «обратный пропагатор» для перенормировки

Однопетлевой 1ПИ эффективного действия и одетые пропагаторы

Доказательство двухточечной функции геометрического ряда

Сложный лагранжиан — проверка правил Фейнмана

Что на самом деле означает вычислять вещи на уровне дерева?

2π2π2\pi и правила Фейнмана

Правила Фейнмана из Лагранжа

Перепишите диаграмму Фейнмана в позиционном пространстве в импульсном пространстве.

Поправка к скалярному пропагатору - производная связь