Существует ли гамильтониан для (классического) электромагнитного поля? Если да, то как его можно вывести из лагранжиана?

Да. Существует стандартный способ обобщения теории поля.

Пусть теория$n\geq 1$поля$\phi^i$с лагранжевой плотностью$\mathcal L = \mathcal L(\phi^i, \partial_\mu\phi^i)$быть данным. Здесь мы используем то стандартное злоупотребление обозначениями, в котором$\phi^i$обозначает вектор, компонентами которого являются поля;$\phi^i = (\phi^1, \dots, \phi^n)$.

Чтобы получить соответствующую плотность гамильтониана, сначала определяют следующий канонический импульс, соответствующий полю$\phi^i$:

$$\begin{align} \pi_i(x) = \frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot \phi^i}(\phi^i(x), \partial_\mu\phi^i(x)), \qquad \dot\phi^i := \partial_t\phi^i \tag{1} \end{align}$$ Тогда гамильтова плотность равна $$\begin{align} \mathcal H = \pi_i\dot\phi^i - \mathcal L \end{align}$$ где сумма по $i$подразумевается. Обратите внимание, что, как и в классической механике, в правой части этого выражения $\dot \phi^i$следует заменить его выражением через $\pi_i,\phi^i$так что гамильтониан является функцией $(\pi_i, \phi^i)$только, а именно $$\begin{align} \mathcal H(\pi_i, \phi^i) = \pi_j \,\dot\phi^j(\pi_i,\phi^i) - \mathcal L(\phi^i, \dot\phi(\pi_i,\phi^i)). \end{align}$$ Мы снова немного злоупотребили обозначениями здесь, когда писали $\dot\phi^i$как функция $\pi_i$а также $\phi^i$. Мы имеем в виду выражение для $\dot\phi^i$получается путем решения определения $(1)$канонического импульса для $\dot\phi^i$с точки зрения $\pi_i$а также $\phi^i$.

В вашем случае поля$A^\mu$с соответствующими импульсами$\pi_\mu$.

Да. Можно найти не только плотность гамильтониана, но даже простой гамильтониан.

Я дал конструкцию в этом EPL ArXiv1303.6143 : Euro Physics Letters, 103 (2013) 28004.

Это письмо короткое, но насыщенное, здесь я могу только описать метод.

Причина, по которой вы не можете написать гамильтониан для электромагнитного поля, заключается в том, что вы представляете его континуумом степеней свободы. Таким образом, вы можете найти только гамильтонову плотность. Это отличается от «обычных» механических систем, которые представлены дискретным набором степеней свободы. В этом случае вы найдете гамильтонову функцию , а не плотность.

Таким образом, главный шаг состоит в том, чтобы дискретизировать поле, но без какой-либо аппроксимации. Звучит противоречиво, но на самом деле это не так. Возьмем пример периодической непрерывной функции. Он имеет бесконечное число степеней свободы. Но поскольку он периодический, его можно представить в виде ряда Фурье. Коэффициенты Фурье — это бесконечный набор дискретных параметров, точно представляющих вашу функцию. Итак, вам удалось дискретизировать свою функцию, не совершая никаких приближений. Эти коэффициенты будут каноническими переменными гамильтониана.

В случае с электромагнитным полем нужен математический аппарат, найденный русским математиком Израилем Гельфандом. Это преобразование Гельфанда во многих отношениях очень похоже на ряд Фурье. Благодаря этому (и модальному разложению) можно дискретизировать поле и найти его гамильтониан. Обратите внимание, что приближение не выполняется и требуется минимальная гипотеза. Единственное требование состоит в том, чтобы граничные условия области были пространственно-периодическими (период$d$).

В результате (уравнение 22 письма) электромагнитное поле представлено цепочкой связанных гармонических осцилляторов. Канонические переменные — это пары сопряженных переменных$V_n$а также$I_n$каждого отдельного осциллятора:

$$\mathcal{H}_\mathrm{em}(V_n,I_n, n \in \mathbb{Z}) = \frac{1}{2} \sum_{n \ge m} \Omega_{n-m}(V_{n}V_{m}+I_{n}I_{m})$$ Коэффициенты связи задаются рядом Фурье дисперсионной кривой распространения$\omega(\beta d)$структуры: $$\omega(\beta)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\Omega_m e^{m \beta d}$$ Электрическое (соответственно магнитное) поле задается выражением$V_n$(отв.$I_n$) и функцией$E_0$(отв.$H_0$) пространства, которое зависит только от геометрии области: $$E(x,t)=\sum_n V_n(t) E_0(x-nd)$$ Эта функция пространства$E_0$есть обратное преобразование Гельфанда мод, распространяющихся в области.