Простой, 3×33×33 \times 3 гамильтониан с отрицательными собственными значениями и ⟨H⟩=0⟨H⟩=0\langle H \rangle=0

У меня есть следующее упражнение:

Рассмотрим трехмерную систему, гамильтониан которой описывается следующей матрицей:

[ 0 − я 0 я 0 0 0 0 5 ]
а) Какие значения возможны при измерении энергии?

б) Система находится в начальном состоянии

| Ψ ( т 0 ) ⟩ "=" А [ 1 1 0 ]
нормализовать | Ψ ( т 0 ) ⟩ и найти ⟨ ЧАС ⟩ .

Итак, для (а) я приступил к определению собственных значений ЧАС . Я нашел (как вручную, так и потом проверил в Mathematica) 1 , − 1 , 5 . Вот моя первая проблема: что значит иметь отрицательное собственное значение? Я не считал это большой проблемой, пока не вычислил ⟨ ЧАС ⟩ (Опять же, проверено с помощью Mathematica).

У меня получилось, на удивление, ⟨ ЧАС ⟩ "=" 0 . Мне трудно анализировать эти результаты. Как я могу иметь среднюю энергию, равную 0 ? Не означает ли это, что энергии нет вообще? Я знаю о связанных состояниях и состояниях рассеяния, но разве состояния рассеяния не должны быть непрерывными? Я также обнаружил, что в некоторых случаях связанные состояния имеют положительную энергию (например, гармонический осциллятор).

Любой

Происхождение энергий нефизическое. Следовательно, быть отрицательным против положительного тоже нефизично.
Могу ли я еще сделать, скажем, разложение начального состояния по собственным векторам этого гамильтониана и вычислить вероятности?

Ответы (1)

Собственные значения могут быть отрицательными: все собственные значения атома водорода отрицательны и определяются выражением Е н "=" − 13,6 н 2 эВ.

Что касается вашей проблемы, собственные состояния (если моя алгебра не ошибается)

| 5 ⟩ "=" ( 0 0 1 ) , | − 1 ⟩ "=" 1 2 ( я 1 0 ) , | 1 ⟩ "=" 1 2 ( − я 1 0 )
поэтому ваше начальное состояние в основном
| Ψ ( т 0 ) ⟩ "=" ( 1 − я ) 2 | − 1 ⟩ + ( 1 − я ) 2 | 1 ⟩
поэтому среднее значение будет
⟨ ЧАС ⟩ "=" 1 2 ( − 1 ) + 1 2 ( 1 )
т.е. ваше начальное состояние можно найти равновероятно с энергией − 1 и с энергией + 1 , поэтому среднее значение 0 .

Ваши собственные состояния действительно верны. Я также обнаружил, что в среднем 0 используя тот же метод, который вы использовали. Спасибо.
@VitorCGoergen Конечно, вы также можете вычислять напрямую А А * ( 1 , 1 , 0 ) ⋅ ЧАС ⋅ ( 1 1 0 ) , что, конечно, дает то же среднее значение. Предыдущий метод лучше иллюстрирует, почему вы получаете 0 : это среднее +1 и -1 с равными вероятностями.
Простой, 3×33×33 \times 3 гамильтониан с отрицательными собственными значениями и ⟨H⟩=0⟨H⟩=0\langle H \rangle=0
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v