Основные вопросы майорановских фермионов

Я ставлю дополнительный ответ, так как считаю, что первый вопрос Джереми все еще остается без ответа. Предыдущий ответ ясен, педагогичен и правилен. Обсуждение тоже очень интересное. Спасибо Nanophys и Heidar за это.

Чтобы ответить прямо на вопрос Джереми: вы ВСЕГДА можете построить представление ваших любимых мод фермионов в терминах мод Майораны. Я использую условные «моды», так как я физик конденсированных сред. Я никогда не работаю с частицами, только с квазичастицами. Пожалуй, лучше поговорить о режиме.

Таким образом, унитарное преобразование из фермионных мод, созданное$c^{\dagger}$и уничтожен оператором$c$в режимах Майорана есть

$$c=\dfrac{\gamma_{1}+\mathbf{i}\gamma_{2}}{\sqrt{2}}\;\text{and}\;c{}^{\dagger}=\dfrac{\gamma_{1}-\mathbf{i}\gamma_{2}}{\sqrt{2}}$$ или эквивалентно $$\gamma_{1}=\dfrac{c+c{}^{\dagger}}{\sqrt{2}}\;\text{and}\;\gamma_{2}=\dfrac{c-c{}^{\dagger}}{\mathbf{i}\sqrt{2}}$$ и это преобразование всегда допустимо, будучи унитарным. Сделав это, вы просто изменили основу своего гамильтониана. Квазичастицы, связанные с $\gamma_{i}$режимы проверяют $\gamma{}_{i}^{\dagger}=\gamma_{i}$, фермионное антикоммутационное соотношение $\left\{ \gamma_{i},\gamma_{j}\right\} =\delta_{ij}$, но они вовсе не частицы. Простой способ убедиться в этом — попытаться построить с ними числовой оператор (если мы не можем посчитать частицы, являются ли они частицами? Наверное, нет). мы бы догадались $\gamma{}^{\dagger}\gamma$хороший. Это неверно, так как $\gamma{}^{\dagger}\gamma=\gamma^{2}=1$является всегда $1$... Единственным правильным числовым оператором является $c{}^{\dagger}c=\left(1-\mathbf{i}\gamma_{1}\gamma_{2}\right)$. Чтобы убедиться в том, что майорановские моды являются энионами, вы должны их сплести (знать их статистику обмена) -- я не хочу много говорить об этом, все интересные замечания по этому поводу сделал Гейдар. Я вернусь позже к тому факту, что всегда есть $2$Моды Майораны, связанные с $1$фермионный ( $c{}^{\dagger}c$) один. Большая часть уже была сказана Nanophys, за исключением важного момента, о котором я расскажу позже, при обсуждении делокализации майорановского режима. Я хотел бы закончить этот абзац, сказав, что майорановская конструкция — не более чем обычная конструкция для бозона: $x=\left(a+a{}^{\dagger}\right)/\sqrt{2}$а также $p=\left(a-a{}^{\dagger}\right)/\mathbf{i}\sqrt{2}$: Только $x^{2}+p^{2} \propto a^{\dagger} a$(с правильными константами размерности) является числом возбуждения. Моды Майорана имеют много общих свойств с $p$а также $x$представление квантовой механики (симплектическая структура среди прочего).

Следующий вопрос заключается в следующем: бывают ли ситуации, когда$\gamma_{1}$а также$\gamma_{2}$являются естественными возбуждениями системы? Что ж, ответ сложный, и да, и нет.

• Да, потому что майорановские операторы описывают правильные возбуждения некоторых реализаций топологической конденсированной материи, таких как$p$-волновая сверхпроводимость (среди многих других, но позвольте мне сосредоточиться на этой конкретной, которую я знаю лучше).
• Нет, потому что эти режимы вовсе не возбуждение! Это моды с нулевой энергией, что не является определением возбуждения. Действительно, они описывают различные возможные вакуумные реализации эмерджентного вакуума (эмерджентного в том смысле, что сверхпроводимость не является естественной ситуацией, это конденсат взаимодействующих электронов (скажем)).

Как указывалось в обсуждении, связанном с предыдущим ответом , нормальная терминология для этих псевдовозбуждений — режим с нулевой энергией. Вот что это такое: энергетическая мода при нулевой энергии, в середине (сверхпроводящей) щели. Заметим также, что в конденсированных средах зазор обеспечивает полную защиту майорановской моды, другой защиты в некотором смысле нет. Некоторые люди считают, что существует своего рода делокализация Майораны, и это правда (я вернусь к этому чуть позже). Но делокализация на самом деле приходит вместе с щелью: не допускается распространение ниже энергии щели. Таким образом, майорановские моды обязательно локализованы, потому что они лежат при нулевой энергии, в середине зазора.

Еще несколько слов о делокализации, как я и обещал. Потому что нужно два лада Майораны$\gamma_{1}$а также$\gamma_{2}$каждому регулярному фермионному$c{}^{\dagger}c$один, любые две связанные майорановские моды объединяются, чтобы создать обычный фермион. Итак, самая важная задача — найти делокализованные моды Майораны! Это известное предложение Китаева arXiv:cond-mat/0010440 — он сказал непарный Майорана вместо делокализованного, поскольку делокализация снова предоставляется бесплатно. На конце топологического провода (у меня$p$-волновой сверхпроводящий провод) будут две моды с нулевой энергией, экспоненциально затухающие в пространстве, так как они лежат в середине зазора. Эти моды с нулевой энергией можно записать как$\gamma_{1}$а также$\gamma_{2}$и они проверяют$\gamma{}_{i}^{\dagger}=\gamma_{i}$каждый !

В заключение актуальный вопрос остается открытым: существует множество псевдовозбуждений при нулевой энергии (в середине промежутка). Единственная разница между майорановскими модами и другими псевдовозбуждениями заключается в определении майорановской моды.$\gamma^{\dagger}=\gamma$, остальные — обычные фермионы. Как точно обнаружить майорановское псевдовозбуждение (режим нулевой энергии) в дебрях других?

Майорановские фермионы — это фермионы, являющиеся собственными античастицами. В результате у них вдвое меньше степеней свободы, чем у обычного дираковского электрона. Одна физическая интерпретация, по крайней мере, для майорановских фермионных квазичастиц в системах конденсированного состояния, состоит в том, что их можно рассматривать как суперпозицию состояния электрона и дырки.

Только связанные состояния Майораны могут использоваться для выполнения топологических квантовых вычислений. Если у вас есть система с$2N$ хорошо разделенные майорановские фермионы, то у вас есть$2^N$-кратно вырожденное основное состояние. Вы можете выполнять квантовые вычисления в этой системе, выполняя последовательность обменов между этими$2N$Майорановские фермионы. Эти обмены известны как операции «плетения». Кроме того, порядок, в котором вы выполняете операции плетения, имеет значение. Поэтому говорят, что система обладает неабелевой статистикой.

Важно понимать, что значит выполнять вычисления. Поскольку майораны похожи на полуфермионы , мы не можем измерить их напрямую. Мы можем сделать вывод об их существовании. Еще один способ понять проблему измерения майорановского фермиона — двусмысленность в его уникальной идентификации! Скажем, у нас есть система с$2N$майорановские фермионы и, следовательно,$N$обычные фермионы. Вам нужно соединить два майорана, чтобы получить обычный фермион (который мы можем измерить). Но есть более чем один способ сделать это! Вы можете сделать это в

$$\frac{(2N)!}{2!(2N-2)!}$$ количество способов. Скажем, мы договорились об условности и решили соединить или соединить две майораны определенным образом. Например, в одномерной решетке мы решаем спаривать только ближайших соседей Майорана. Это, по сути, лучший выбор их сочетания. Итак, теперь вы выполняете ряд операций сплетения и, в конце концов, сплавляете майораны в соответствии с согласованным соглашением, а затем измеряете результирующие состояния регулярных фермионов. Вот когда мы сделали вычисление. Просто обменять их недостаточно. Вы не сможете сказать, действительно ли они были обменены, не сплавив их! Вы можете прочитать больше об этом в разделе 3 этой превосходной обзорной статьи:

http://arxiv.org/abs/1206.1736

Наконец, я прокомментирую, в чем заключается вся эта «топологическая» история. Одним из самых захватывающих и противоречивых свойств системы, содержащей Майорана, является то, что в вашей системе могут быть нелокальные состояния. Как я упоминал выше, вы можете соединить любые два майорана, чтобы получить обычный электрон. Неважно, что эти два майорановских фермиона находятся далеко друг от друга в пространстве. Результирующее (регулярное) электронное состояние в результате слияния этих двух майоранов очень нелокально. Тот факт, что это электронное состояние является нелокальным, означает, что никакие локальные возмущения не могут его разрушить. Следовательно, такие системы невосприимчивы к декогеренции, которая является одной из самых больших проблем, с которыми сталкиваются другие схемы квантовых вычислений. Это одно из самых больших преимуществ топологических квантовых вычислений.

Однако в этой интересной истории есть одна загвоздка. Вы не можете выполнять универсальные квантовые вычисления с майорановскими фермионами. Для этого необходимы два дополнительных процесса:$\pi/8$фазовый вентиль и способ чтения собственного значения произведения 4 операторов Майораны без измерения собственных значений отдельных пар (в этой группе из 4). К сожалению, современные способы реализации таких процессов не имеют топологической защиты. Но все же некоторая топологическая защита лучше, чем никакой!