Путаница по поводу использования статистической суммы одной частицы или NNN частиц в вероятности Больцмана в каноническом ансамбле

Question

Путаница по поводу использования статистической суммы одной частицы или NNN частиц в вероятности Больцмана в каноническом ансамбле

Накшатра Гангопадхай

Предположим, у нас есть канонический ансамбль, где $N$ частицы были разделены между $\epsilon_i$ уровни энергии, каждый с вырождением $g_i$ . Статистическая сумма для одной частицы определяется как:

Z_{с п} "=" \sum_{я}^{р} г_{я} е^{- β ϵ_{я}}

$Z_{sp}=\sum_{i}^{r} g_i e^{-\beta\epsilon_i}$

Есть $r$ общие энергетические уровни здесь.

Во всяком случае, функция распределения для всех $N$ частицы можно найти по той же формуле, проверив все возможные комбинации и значения полной энергии, приходящейся на каждую из этих частиц, что было бы долгим и утомительным процессом. Тем не менее, мы можем написать $N$ статистическая сумма частиц выглядит следующим образом:

Z_{Н} "=" \prod_{я}^{Н} (Z_{с п})_{я}

$Z_{N}=\prod_{i}^{N}(Z_{sp})_i$

Теперь мы знаем, что вероятность того, что система находится на определенном « энергетическом уровне », равна:

п (ϵ_{я}) "=" \frac{г_{я} е^{- β ϵ_{я}}}{Z}

$P(\epsilon_i)=\frac{g_i e^{-\beta \epsilon_i}}{Z}$

Если бы нас заботило конкретное состояние, а не уровень энергии, то мы бы просто отбросили $g_i$ термин в числителе я полагаю. Мой вопрос в том, что именно $Z$ в этом примере? Это $Z_{sp}$ или $Z_N$ ? Согласно примеру из моей книги, это должна быть статистическая сумма одной частицы. Однако моя система состоит из $N$ частицы, поэтому не следует ли нам рассматривать $N$ функция распределения частиц вместо этого?

Предположим, что мои частицы являются бозонами или классическими частицами, в том смысле, что нет ограничений на количество частиц в состоянии, мы можем сказать следующее:

п (ϵ_{я}) "=" \frac{н_{я}}{Н}

$P(\epsilon_i)= \frac{n_i}{N}$

Отсюда находим число частиц с энергией $\epsilon_i$ разделить на общее количество частиц. Следовательно, мы можем написать:

н_{я} "=" Н \frac{г_{я} е^{- β ϵ_{я}}}{Z}

$n_i=N\frac{g_i e^{-\beta \epsilon_i}}{Z}$

Но теперь, не должны ли мы рассмотреть статистическую сумму всех этих $N$ частицы?

Согласно моей книге, количество частиц на определенном энергетическом уровне — это произведение общего числа частиц и вероятности нахождения одной частицы на этом уровне. Из-за этого они используют статистическую сумму одной частицы. Мне это кажется немного неправильным. Поскольку мы говорим о $N$ частицы, не должны ли мы просто использовать $N$ функция распределения частиц вместо этого? Вероятность системы на определенном энергетическом уровне определяется с помощью $N$ статистическая сумма частиц, поскольку существуют $N$ частицы в системе. Таким образом, согласно этому аргументу, не должно ли число частиц на определенных энергетических уровнях также даваться с использованием $N$ частица.

Итак, если я хочу найти количество частиц на определенном энергетическом уровне в системе $N$ частицы, что я должен использовать:

н_{я} "=" Н \frac{г_{я} е^{- β ϵ_{я}}}{Z_{с п}} о р \frac{г_{я} е^{- β ϵ_{я}}}{Z_{Н}}

$n_i=N\frac{g_i e^{-\beta \epsilon_i}}{Z_{sp}} \space \space or\space\space \frac{g_i e^{-\beta \epsilon_i}}{Z_{N}}$

Любая помощь в понимании этой концепции будет высоко оценена. Спасибо !

Томас

Было бы хорошо знать, в каком физическом контексте вы спрашиваете об этом.

Накшатра Гангопадхай

@Thomas Позвольте мне составить пример вопроса: допустим, есть система с

2

$2$ возможные уровни энергии

0

$0$ и

E

$E$ , а второй уровень дважды вырожден (отсюда

3

$3$ состояния -

0, E, E

$0,E,E$ ). Я заполняю эту систему

N

$N$ частицы. Я хочу знать, количество частиц с энергией

E

$E$ в пересчете на общее количество частиц.

Накшатра Гангопадхай

@ Томас, как видите, есть две формулы, которые я написал в конце. Один включает статистическую сумму одной частицы, а другой —

N

$N$ частица разделения частиц. Какой из них я должен рассмотреть. В случае, если оба неверны, какой должен быть правильный.

Накшатра Гангопадхай

@Thomas, согласно википедии, он должен быть первым, но они не упомянули, является ли это функцией разделения одной частицы или нескольких частиц.

Томас

Пожалуйста, смотрите мой ответ.

Ответы (2)

Путаница по поводу использования статистической суммы одной частицы или NNN частиц в вероятности Больцмана в каноническом ансамбле

Было бы хорошо знать, в каком физическом контексте вы спрашиваете об этом.
@Thomas Позвольте мне составить пример вопроса: допустим, есть система с $2$ возможные уровни энергии $0$ и $E$ , а второй уровень дважды вырожден (отсюда $3$ состояния - $0,E,E$ ). Я заполняю эту систему $N$ частицы. Я хочу знать, количество частиц с энергией $E$ в пересчете на общее количество частиц.
@ Томас, как видите, есть две формулы, которые я написал в конце. Один включает статистическую сумму одной частицы, а другой — $N$ частица разделения частиц. Какой из них я должен рассмотреть. В случае, если оба неверны, какой должен быть правильный.
@Thomas, согласно википедии, он должен быть первым, но они не упомянули, является ли это функцией разделения одной частицы или нескольких частиц.

Коннор Бехан · Answer 1

Когда мы идем в $N$ частиц, коэффициенты вырождения в любом случае создаются автоматически. Поэтому я собираюсь избавиться от головной боли, связанной с наличием факторов вырождения уже с одной частицей. Так что просто используйте $\epsilon_1, \dots, \epsilon_R$ . Если $R > r$ , это означает, что некоторые из $\epsilon_i$ одинаковы.

Одночастичная система подчиняется

Z_{с п} "=" \sum_{я "=" 1}^{р} е^{- β ϵ_{я}}, п (ϵ_{я}) "=" \frac{е^{- β ϵ_{я}}}{Z_{с п}}

$\begin{equation} Z_{\mathrm{sp}} = \sum_{i = 1}^R e^{-\beta \epsilon_i}, \quad P(\epsilon_i) = \frac{e^{-\beta \epsilon_i}}{Z_{\mathrm{sp}}} \end{equation}$ Итак, теперь мы должны поговорить о том, как определяется система из нескольких частиц. Если он определен как

N

$N$ невзаимодействующие копии системы с одной частицей, где нет ограничений на многократное заполнение уровней (т. е. частицы уже известны как различимые), тогда и только тогда мы можем сказать

Z_{Н} "=" \prod_{я "=" 1}^{Н} Z_{с п} "=" Z_{с п}^{Н} .

$\begin{equation} Z_N = \prod_{i = 1}^N Z_{\mathrm{sp}} = Z_{\mathrm{sp}}^N. \end{equation}$ Итак, какова теперь вероятность данной энергии? Ну, мы должны помнить, что почти все возможные значения энергии системы многих частиц не являются элементами

(ϵ_{1}, \dots ϵ_{R})

$(\epsilon_1, \dots \epsilon_R)$ . Вместо этого мы можем рассмотреть микросостояния, помеченные

(n_{1}, \dots, n_{R})

$(n_1, \dots, n_R)$ такой, что

n_{1} + \dots + n_{R} = N

$n_1 + \dots + n_R = N$ . Тогда вероятность реализации одного из них равна

п (н_{1}, \dots, н_{р}) "=" \frac{е^{- β (ϵ_{1} н_{1} + \dots + ϵ_{р} н_{р})}}{Z_{Н}} .

$\begin{equation} P(n_1, \dots, n_R) = \frac{e^{-\beta(\epsilon_1 n_1 + \dots + \epsilon_R n_R)}}{Z_N}. \end{equation}$ Является ли это также вероятностью того, что энергия

E = n_{1} ϵ_{1} + \dots + n_{R} ϵ_{R}

$E = n_1 \epsilon_1 + \dots + n_R \epsilon_R$ будут мерить? Не обязательно, если

ϵ_{i}

$\epsilon_i$ регулярно разнесены. Получить

P (E)

$P(E)$ , нам нужно просуммировать вышеизложенное по всем возможным наборам

n_{i}

$n_i$ такой, что

n_{1} ϵ_{1} + \dots + n_{R} ϵ_{R} = E

$n_1 \epsilon_1 + \dots + n_R \epsilon_R = E$ .

Мы наконец пришли к вашему уравнению $P(\epsilon_i) = n_i / N$ . Я думаю, что это либо неправильно, либо зависит от некоторых запутанных определений. Как и в случае с полной энергией, количество частиц, обладающих энергией $\epsilon_i$ является случайным, поскольку зависит от микросостояния. Его ожидание будет дано

Н_{я} "=" Z_{Н}^{- 1} \sum_{н_{1} + \dots + н_{р} "=" Н} н_{я} (\binom{Н}{н_{1}, \dots, н_{р}}) е^{- β (н_{1} ϵ_{1} + \dots + н_{р} ϵ_{р})} .

$\begin{equation} N_i = Z_N^{-1} \sum_{n_1 + \dots + n_R = N} n_i \binom{N}{n_1, \dots, n_R} e^{-\beta(n_1 \epsilon_1 + \dots + n_R \epsilon_R)}. \end{equation}$

Спасибо за это, однако вот что утверждает Википедия: «Распределение Больцмана часто используется для описания распределения частиц, таких как атомы или молекулы, по доступным для них связанным состояниям. Если мы имеем систему, состоящую из многих частиц, то вероятность того, что частица находится в состоянии $i$ практически равна вероятности того, что если мы возьмем случайную частицу из этой системы и проверим, в каком она состоянии, мы обнаружим, что она находится в состоянии $i$ .
Эта вероятность равна числу частиц в состоянии $i$ деленное на общее число частиц в системе, то есть на долю частиц, находящихся в состоянии $i$ ."
Используя это, они определили $п_{я} "=" \frac{Н_{я}}{Н}$ $P_i=\frac{N_i}{N}$
Итак, они интерпретировали эту вероятность как отношение общего числа частиц на определенном энергетическом уровне к общему числу частиц. Но поскольку мы говорим о более чем одной частице, не следует ли вместо этого рассмотреть многочастичное разделение?
Хорошо, они сначала выбирают частицу, а затем запрашивают вероятность того, что она находится в состоянии $i$ с использованием $Z_{\mathrm{sp}}$ снова. Это отличается от запроса вероятности того, что система находится в состоянии с определенными свойствами. Тем не менее, стоит проверить, что два решения для $N_i$ согласен в большом $N$ предел, когда частотные интерпретации действительны.

Томас · Answer 2

Предположим, у вас есть двухуровневый атом с энергией нижнего уровня 0 (электрон в основном состоянии) и энергией верхнего уровня E (электрон в возбужденном состоянии). В термодинамическом равновесии при температуре T вероятность того, что атом находится в основном состоянии, соответствует распределению Больцмана

п_{1} "=" \frac{1}{1 + е^{- Е / (к Т)}}

$p_1=\frac{1}{1+e^{-E/(kT)}}$

и для верхнего состояния

п_{2} "=" \frac{е^{- Е / (к Т)}}{1 + е^{- Е / (к Т)}}

$p_2=\frac{e^{-E/(kT)}}{1+e^{-E/(kT)}}$

Обратите внимание, что $p_1+p_2 =1$ .

Это означает, что если у вас есть большое количество N атомов, вы обнаружите около $N_1=N\cdot p_1$ в нижнем состоянии и $N_2=N\cdot p_2$ в верхнем состоянии. Если верхнее состояние вырождено, $N_2$ будут разделены между всеми вырожденными состояниями, соответственно для $N_1$ если нижнее состояние является вырожденным (см. также мой первый ответ на этот вопрос SE в этом контексте).

При этом условием для этого является предположение о термодинамическом равновесии, которое подразумевает, что уровни заселяются и опустошаются только в результате столкновений, т. е. предполагается, что шкала времени столкновений намного короче, чем любые другие шкалы времени. В большинстве практических случаев это на самом деле не так. Квантово-механические времена затухания дипольно-разрешенных переходов практически всегда намного короче времени столкновений, поэтому расчеты, основанные на распределении Больцмана, в этом случае будут сильно ошибочными. Только для достаточно высоковозбужденных состояний или дипольно-запрещенных переходов столкновения становятся доминирующими.

Так что всегда нужно быть осторожным с применением результатов, основанных на теории термодинамики. Опасно брать некоторые уравнения из учебников до того, как вы подробно проанализируете стоящую перед вами физическую задачу и не убедитесь, что они действительно применимы к этой задаче.

Большое спасибо, но есть небольшая проблема, связанная с этим, что я и мой друг не можем понять. Я думаю, что он разместил это как отдельный вопрос, но я пишу свое замешательство в комментарии, чтобы вы могли его увидеть. Вы написали, что если у нас будет большое количество $N$ атомы здесь, у нас было бы $Np_1$ и $Np_2$ из них в возбужденном состоянии. Я не уверен, как это интерпретировать, особенно в отношении следующего вопроса.
Предположим, что в нашей системе есть N частиц в этих двух энергетических состояниях. Я хочу знать, какова вероятность того, что система будет иметь энергию $NE$ . Это тоже дается распределением Больцмана, но теперь наша энергия равна $NE$ и мы рассматриваем $N$ статистическая сумма частиц
Однако это то же самое, что спрашивать, какова вероятность того, что все $N$ частицы, находящиеся в энергии $E$ состояние. Разве это не должно быть $0$ ? Я имею в виду, что мы уже установили, что о $N_1$ частицы имеют энергию $E$ . Итак, возможность $N$ частицы, обладающие энергией $E$ где $N\gt N_1$ должно быть автоматически $0$ . Однако распределение Больцмана дает на это очень маленький, но ненулевой ответ.
@NakshatraGangopadhay Да, вероятность того, что все $N$ частицы с энергией $E$ равен нулю для больших $N$ ( $N\rightarrow \infty$ ), аналогично тому, как вероятность подбрасывания только одной стороны монеты равна нулю для $N\rightarrow \infty$ . Для этого существует конечная вероятность, если $N$ конечно, но в этом случае это противоречило бы закону сохранения энергии. Если полная доступная энергия $p_2\cdot N \cdot E$ невозможно, чтобы какое-либо состояние имело полную энергию $N \cdot E$ (или любой другой энергии в этом отношении).
является $N_1$ и $N_2$ действительно фактическое количество частиц с энергией $0$ и $E$ ? Или это больше похоже на наше ожидаемое значение числа частиц в этих состояниях?
@NakshatraGangopadhay Для задачи чистой статистики это будет просто ожидаемое значение (например, вы ожидаете, что одна сторона монеты появится со средней вероятностью 0,5, но со стандартным отклонением порядка $1/\sqrt N$ после $N$ попытки). Однако в физике всегда есть дополнительные ограничения. Если передать энергию $2E$ в систему из 10 частиц, то в 2-уровневую систему с энергиями $0$ и $E$ , это означает, что 8 частиц должны иметь энергию $0$ и 2 энергии частиц $E$ . Нет другого способа распределить частицы, не нарушая закон сохранения энергии.

Путаница по поводу использования статистической суммы одной частицы или NNN частиц в вероятности Больцмана в каноническом ансамбле

Накшатра Гангопадхай

Томас

Накшатра Гангопадхай

Накшатра Гангопадхай

Накшатра Гангопадхай

Томас

Ответы (2)

Коннор Бехан

Накшатра Гангопадхай

Накшатра Гангопадхай

Накшатра Гангопадхай

Накшатра Гангопадхай

Коннор Бехан

Томас

Накшатра Гангопадхай

Накшатра Гангопадхай

Накшатра Гангопадхай

Томас

Накшатра Гангопадхай

Томас

Путаница в отношении использования функции распределения

Фиксирована ли полная энергия канонической ансамблевой системы частиц NNN с одночастичными уровнями энергии, определяемыми как ϵiϵi\epsilon_i?

Второй закон статистики

Почему мы игнорируем начальную энтропию при вычислении энтропии смешения идеальной смеси?

Разве свободная энергия Гиббса не менее важна для канонических ансамблей? Если да, то почему?

Статистика двухточечных измерений в системах Quantum

Является ли вероятность Гиббса/Больцмана «истинной» вероятностью того, что частица находится в определенном состоянии в каноническом ансамбле?

Как рассчитать вероятность того, что осциллятор находится в определенном состоянии, используя статистическую сумму?

Получение энтальпии из статистической механики

Почему эта формула статистической суммы не включает кратность?