Путаница в модах и квантовой теории поля

Вы спрашиваете, как можно «примирить» два описания, но это одно и то же. Свободное скалярное поле содержит один независимый осциллятор для каждого импульса$\vec{k}$. Это означает, что существует основа состояний, заданная указанием числа занятий для каждого режима.$\vec{k}$. Другими словами, существует базис состояний, где вы говорите, сколько существует частиц с импульсом$\vec{k}$, т.е. список чисел$n(\vec{k})$для каждого$\vec{k} \in \mathbb{R}^3$. Это описание, которое, как вы сказали, вас устраивало. Одночастичные состояния можно обозначить как$|\vec{p} \rangle$, а это как раз то состояние, в котором$n(\vec{p}) =1$для одного значения импульса$\vec{k} = \vec{p}$, и$n(\vec{k})=0$для всех остальных значений$\vec{k} \neq \vec{p}$. Тогда волновой пакет представляет собой состояние вида

$$\int d^3 p \; f(\vec{p} - \vec{k}) |k\rangle$$ для некоторой функции Гаусса с острым пиком$f$. Как видите, это суперпозиция состояний, все из которых содержат всего одну частицу, но где точное значение импульса этой частицы немного размыто.

Если частица меняет импульс, эффективно ли она «перескакивает» на новую моду?

Сначала вы должны спросить себя, почему частица вообще меняет импульс. В свободной теории этого никогда не происходит. Все частицы всегда имеют один и тот же импульс. Однако в теории взаимодействия частица изменит свой импульс, если она взаимодействует (или, возможно, сталкивается) с другой частицей.

Смотрите ответ здесь для более подробной информации. По сути, частицы будут представлять собой несколько широко разнесенных волновых пакетов на бесконечности, сталкиваться друг с другом в «зоне взаимодействия», а затем уходить как (разные) частицы. Так что «скачок» или «изменение» импульсов частиц происходит размазанным образом по этой пространственной зоне.

Однако есть более фундаментальная проблема, которую вы должны принять во внимание. Когда вы добавляете взаимодействующий термин$H_{\rm int}$Согласно вашему гамильтониану, ваши простые состояния пространства Фока в свободном поле больше не могут по праву называться «состояниями частиц». Это происходит и в стандартной КМ: если вы добавите член взаимодействия к вашему гамильтониану, изменится не только энергетический спектр вашего гамильтониана, но и сами энергетические состояния. Нужно тщательно задаться вопросом, каковы состояния частиц во взаимодействующей теории. Это рассматривается, например, в этом ответе здесь .