Какова роль волновых пакетов в формулах ЛСЗ?

В этом и заключается загвоздка всей чепухи волновых пакетов.

Можно сказать, что поскольку неопределенность частоты$\sigma \to 0$, волновой пакет становится менее локализованным в пространстве, в конечном итоге становясь истинно плоской волной. Так почему бы просто не начать с$\sigma = 0$в начале? Зачем брать лимит?

Дело в том, что это не совсем верно, что волновые пакеты становятся более локализованными по мере того, как$\sigma \to 0$!

Представьте себе волновой пакет со средним импульсом$\vec{k}_0 = \vec{0}$который начинается в некоторой позиции$\vec{q}$в$t=0$. Представьте, что происходит, когда$\sigma$неопределенность частоты увеличивается, что означает, что неопределенность исходного положения в пространстве становится меньше. Это изображено выше. Здесь серая область — это область, в которой абсолютное значение волнового пакета находится в пределах одного стандартного отклонения от среднего значения. По мере того, как неопределенность в пространстве начального положения становится меньше, неопределенность в пространстве импульса становится больше! Это означает, что оболочка расширяется быстрее , потому что диапазон возможных импульсов больше.

Вот почему волновой пакет, изображенный слева, имеет большую начальную пространственную неопределенность, но через некоторое время изображение справа имеет большую пространственную неопределенность положения. (Темно-серые линии — это мировые линии, по которым прошла бы частица, если бы она имела импульс$k = \pm \sigma$.)

Люди часто говорят, что соотношение неопределенностей Гейзенберга говорит о том, что большая неопределенность положения означает меньшую неопределенность импульса. Однако это всего лишь нижняя граница. На поздних временах картина слева имеет как меньшую неопределенность импульса , так и меньшую неопределенность положения!

Позвольте мне теперь ввести понятие «зона взаимодействия». То, как вы должны думать о рассеянии, состоит в том, что частицы приходят из бесконечности, взаимодействуют в некоторой большой области пространства, называемой «зоной взаимодействия», а затем некоторые частицы уходят.

Зона взаимодействия — серая область на картинке выше. Итак, как мы принимаем$\sigma \to 0$, наши «пучки» частиц (волны, входящие и выходящие из зоны взаимодействия) на самом деле становятся все резче и резче и начинают издалека все больше и больше походить на прямые линии. Однако сама зона взаимодействия на самом деле становится все больше и больше! Когда вы интегрируете более$\int d^4 x$в формуле сокращения LSZ таким образом, что вы действительно интегрируете эту зону взаимодействия, которая становится пространственно больше по мере того, как$\sigma \to 0$. Однако из-за порядка ограничений, которые вы принимаете, за зоной взаимодействия существует более обширная зона, которую можно назвать «зоной рассеяния», где ваши частицы выбрасываются тонкими лучами.

Это причина тщательного построения асимптотических состояний в формуле редукции LSZ с использованием волновых пакетов.