Распределительное свойство символа упорядочения по времени

Большинство выводов формулы приведения LSZ , например, Средненицкого (уравнения 5.13, 5.14, 5.15), Шварца (уравнения 6.17, 6.18, 6.19), Википедия используют свойство символа упорядочения по времени, которое выглядит как распределительное свойство.

Соответствующие шаги (я использую одну частицу входа и выхода для упрощения выражений):

⟨ 0 | а 2 ( + ∞ ) а 1 † ( − ∞ ) | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | Т а 2 ( + ∞ ) а 1 † ( − ∞ ) | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | Т ( а 2 ( − ∞ ) + ∫ г т 2 ∂ 0 а 2 ( т 2 ) ) ( а 1 † ( + ∞ ) + ∫ г т 1 ∂ 0 а 1 † ( т 1 ) ) | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | Т ( ∫ г т 2 ∂ 0 а 2 ( т 2 ) ) ( ∫ г т 1 ∂ 0 а 1 † ( т 1 ) ) | 0 ⟩ "=" ∫ г т 1 г т 2 ⟨ 0 | Т а 2 ( т 2 ) а 1 † ( т 1 ) | 0 ⟩
Здесь свойство дистрибутивности используется дважды: сначала для того, чтобы лестничные операторы аннулировали вакуумные состояния (строка 3), а затем для замены символа временного упорядочения интегральным оператором (строка 4).

Окончательное выражение выглядит так, как я ожидаю: вполне естественно, что операторы должны применяться в порядке, заданном их аргументом времени. Однако это свойство далеко не тривиально, так как оно работает даже при разложении оператора на сумму операторов в разное время.

Итак, мои вопросы: каковы условия (например, какие операторы, как они должны быть разложены ...) для выполнения этого свойства? И, самое главное, есть ли этому доказательства?

Изменить : чтобы уточнить, что я имею в виду под «распределительной собственностью»:

⟨ 0 | Т ( а 2 ( − ∞ ) + ∫ г т 2 ∂ 0 а 2 ( т 2 ) ) ( а 1 † ( + ∞ ) + ∫ г т 1 ∂ 0 а 1 † ( т 1 ) ) | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | Т а 2 ( − ∞ ) а 1 † ( + ∞ ) | 0 ⟩ + ⟨ 0 | Т а 2 ( − ∞ ) ( ∫ г т 1 ∂ 0 а 1 † ( т 1 ) ) | 0 ⟩ + ⟨ 0 | Т ( ∫ г т 2 ∂ 0 а 2 ( т 2 ) ) а 1 † ( + ∞ ) | 0 ⟩ + ⟨ 0 | Т ( ∫ г т 2 ∂ 0 а 2 ( т 2 ) ) ( ∫ г т 1 ∂ 0 а 1 † ( т 1 ) ) | 0 ⟩

Ответы (1)

Комментарии к вопросу (v3):

  1. Произведение операторов, упорядоченное по времени

    (1) Т [ А 1 ( т 1 ) … А н ( т н ) ]   "="   ∑ π е С н θ ( т π ( 1 ) > … > т π ( н ) ) ( − 1 ) ε π , А А π ( 1 ) ( т π ( 1 ) ) … А π ( н ) ( т π ( н ) )
    оценивается симметрично. [Здесь ( − 1 ) ε π , А является знаковым фактором в случае нечетных по Грассману операторов.] Обратите внимание, что упорядоченное по времени произведение (1) определено только для монолокальных операторов А я ( т я ) , т.е. когда каждый оператор А я ( т я ) зависит от одного раза т я каждый.

  2. Формула (1) не имеет смысла для билокальных операторов Б ( т 1 , т 2 ) (и, в более общем случае, многолокальные операторы М ( т 1 , … т м ) ), если их нельзя разложить на монолокальные операторы. Затем мы расширяем определение (1) через мультилинейность . Это означает, в частности, что товар, заказанный во времени, Т удовлетворяет дистрибутивному закону по построению, например

    Т [ А 1 ( т 1 ) … А я ( т я ) { Б ( т б ) + С ( т с ) } А я + 1 ( т я + 1 ) … А н ( т н ) ]
      "="   Т [ А 1 ( т 1 ) … А я ( т я ) Б ( т б ) А я + 1 ( т я + 1 ) … А н ( т н ) ]
    (2) + Т [ А 1 ( т 1 ) … А я ( т я ) С ( т с ) А я + 1 ( т я + 1 ) … А н ( т н ) ]
    Если т б ≠ т с , то левая часть уравнения (2) не имеет самостоятельного значения. Если т б "=" т с , то ур. (2) следует из определения (1).

  3. Используя основную теорему исчисления , мы можем рассмотреть телескопическую сумму :

    Т [ А 1 ( т 1 ) … А я ( т я ) { Б ( т "=" ∞ ) − Б ( т "=" − ∞ ) } А я + 1 ( т я + 1 ) … А н ( т н ) ]
      "="   Т [ А 1 ( т 1 ) … А я ( т я ) { ∫ р г т   г Б ( т ) г т } А я + 1 ( т я + 1 ) … А н ( т н ) ]
      "="   ∫ р г т   Т [ А 1 ( т 1 ) … А я ( т я ) г Б ( т ) г т А я + 1 ( т я + 1 ) … А н ( т н ) ]
    + ∑ я "=" 1 н ∫ р г т   дельта ( т − т я )   Т [ А 1 ( т 1 ) … [ А я ( т я ) , Б ( т я ) ] А я + 1 ( т я + 1 ) … А н ( т н ) ]
    (3)   "="   ∫ р г т г г т Т [ А 1 ( т 1 ) … А я ( т я ) Б ( т ) А я + 1 ( т я + 1 ) … А н ( т н ) ] ,
    что приводит к дистрибутивному закону.

  4. Теперь для упомянутого шага в доказательстве формулы приведения ЛСЗ вычисление можно организовать так, чтобы дистрибутивных свойств (2) и (3) было достаточно. Помимо дистрибутивного закона, в выводе есть несколько других тонких моментов, таких как, например, контактные термины. См., например, этот связанный пост Phys.SE.

Спасибо за подробный ответ. Вы говорите, что "расчет можно организовать так, чтобы было достаточно распределительных свойств (2) и (3)": не могли бы вы дать ссылку на книгу или веб-ресурс, где это делается подробно? В книгах, о которых я упоминал выше, этот вопрос даже не упоминается, и Вайнберг приходит к формуле другим методом. Тем не менее, я принимаю его, поскольку он полностью отвечает на мой вопрос (который касается T, а не LSZ).
Распределительное свойство символа упорядочения по времени
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v