Доказательство того, что эффективное / правильное действие является производящим функционалом одночастичных неприводимых (1PI) корреляционных функций.

Weinberg, QFT 2, в разделе 16.1 в сноске 2 ссылается на Coleman, Aspects of Symmetry, p. 135-6, в котором представлены$\hbar$/расширение цикла. См. также ссылки. 3 и 4 для аналогичной идеи. В этом ответе мы приводим неиндуктивный аргумент в этом направлении. Приятной особенностью этого аргумента является то, что нам не нужно явно иметь дело с надоедливой комбинаторикой и факторами симметрии отдельных диаграмм Фейнмана. Это уже зашито в формализме.

А) Сначала напомним некоторые основные факты из теории поля. Классический (=$\hbar$-самостоятельное) действие

$$S[\phi]~\equiv~\underbrace{\frac{1}{2}\phi^k (S_2)_{k\ell}\phi^{\ell}}_{\text{quadratic part}} + \underbrace{S_{\neq 2}[\phi]}_{\text{the rest}}, \tag{A1}$$ — производящий функционал для голых вершин (и обратный голый пропагатор$(S_2)_{k\ell}$).

Статистическая сумма / интеграл по пути

$$\begin{align} Z[J] ~:=~&\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \underbrace{\left(S[\phi]+J_k \phi^k\right)}_{=:~S_J[\phi]}\right\}\tag{A2} \cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\}\cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_k (S_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\}\tag{A3}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{WKB}\cr\text{approx.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 S[\phi[J]]}{\delta \phi^m \delta \phi^n}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S[\phi[J]]+J_k \phi^k[J]\right)\right\}\cr &\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right) \tag{A4}\end{align}$$ в приближении стационарной фазы/ВКБ$\hbar\to 0$. В уравнении (А4) $$J_k~\approx~-\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi^k} \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi^k~\approx~\phi^k[J] \tag{A5}$$ являются уравнениями Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) для квантового поля$\phi^k$.

Обратите внимание на расширение диаграммы (A3), как голая вершина появляется с$\hbar$-масса$=-1$; внутренний оголенный пропагатор$(S_2^{-1})^{k\ell}$поставляется с$\hbar$-масса$=+1$; и внешняя нога идет с$\hbar$-масса$=0$.

Теорема о связанных кластерах утверждает, что производящий функционал для связных диаграмм равен

$$W_c[J]~=~\frac{\hbar}{i}\ln Z[J], \tag{A6}$$ ср. например , этот пост Phys.SE. Обратите внимание, что соединенные вакуумные пузыри$W_c[J\!=\!0]=\frac{\hbar}{i}\ln Z[J\!=\!0]$по определению коррелирует с нормализацией интеграла по траекториям и, следовательно, не имеет физического значения. (Мы допускаем возможность того, что оно не равно нулю, чтобы оно было как можно более общим.)

Далее вспомните$\hbar$/цикл-расширение

$$L~=~I-V+1, \tag{A7}$$ ср. мой ответ Phys.SE здесь . $\hbar$/loop-expansion вместе с eqs. Из (A4) и (A6) следует, что производящий функционал $$W_{c}^{\rm tree}[J]~\stackrel{(A4)+(A6)}{=}~S[\phi] + J_i \phi^i \tag{A8}$$ для связных древесных диаграмм является преобразованием Лежандра классического действия. Обратите внимание, что уравнения EL. (A5) совместимы с этим.

уравнения (A3) и (A6) выход

$$\begin{align} &W^{\rm tree}_c[J]~\stackrel{(A3)+(A6)}{=}\cr \lim_{\hbar\to 0} \frac{\hbar}{i}& \ln\left( \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\} \exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_k (S_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\} \right). \end{align}\tag{A9}$$ Обратите внимание, как ур. (A9) относится только к объектам в уравнениях. (A1) и (A8), и, следовательно, их можно рассматривать как следствие только их.

уравнение (A9) реализует тот факт, что для произвольного конечного множества вставок внешних источников (сумма всех возможных) связных древесных диаграмм есть (сумма всех возможных) деревьев голых пропагаторов$(S_2^{-1})^{k\ell}$и голые вершины.

Обратите внимание, что квадратный корень с одной петлей в уравнениях. (A3) и (A4) не влияют на формулу нулевой петли/дерева (A9) и (A8) соответственно.

$\downarrow$Таблица 1: Структурное сходство секций A и B.

$$\begin{array}{ccc} A &\leftrightarrow & B \cr \phi^k&\leftrightarrow & \phi_{\rm cl}^k \cr S[\phi]&\leftrightarrow &\Gamma[\phi_{\rm cl}]\cr \hbar&\leftrightarrow &\hbar^{\prime} \cr Z[J]&\leftrightarrow &Z_{\Gamma}[J]\cr W^{\rm tree}_c[J]&\leftrightarrow &W_c[J] \end{array}$$

Б) Наконец, давайте обратимся к вопросу ОП. Рассмотрим эффективное/правильное действие

$$\Gamma[\phi_{\rm cl}]~\equiv~\underbrace{\frac{1}{2}\phi_{\rm cl}^k (\Gamma_2)_{k\ell}\phi_{\rm cl}^{\ell}}_{\text{quadratic part}} + \underbrace{\Gamma_{\neq 2}[\phi_{\rm cl}]}_{\text{the rest}}.\tag{B1}$$

В отличие от классического действия (A1), эффективное действие (B1) зависит (неявно) от приведенной постоянной Планка$\hbar$. Мы хотели бы сделать цикл-расширение wrt. новый параметр$\hbar^{\prime}$.

С этой целью задайте статистическую сумму / интеграл по путям

$$\begin{align} Z_{\Gamma}[J] ~:=~&\int \! {\cal D}\frac{\phi_{\rm cl}}{\sqrt{\hbar^{\prime}}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}} \underbrace{\left(\Gamma[\phi_{\rm cl}]+J_k \phi_{\rm cl}^k\right)}_{=:~\Gamma_J[\phi_{\rm cl}]}\right\} \tag{B2}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (\Gamma_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}} \Gamma_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar^{\prime}}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\}\cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar^{\prime}} J_k (\Gamma_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\}\tag{B3}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{WKB}\cr\text{approx.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2\Gamma[\phi_{\rm cl}[J]]}{\delta \phi_{\rm cl}^m \delta \phi_{\rm cl}^n}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}}\left(\Gamma[\phi_{\rm cl}[J]]+J_k \phi_{\rm cl}^k[J]\right)\right\}\cr &\left(1+ {\cal O}(\hbar^{\prime})\right) \tag{B4}\end{align}$$ в приближении стационарной фазы/ВКБ$\hbar^{\prime}\to 0$. Также уравнения EL. за эффективное действие$\Gamma_J[\phi_{\rm cl}]$для классического поля$\phi_{\rm cl}^k$читать $$J_k~\approx~-\frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k} \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi_{\rm cl}^k~\approx~\phi_{\rm cl}^k[J]. \tag{B5}$$

Напомним, что эффективное действие (B1) есть по определению преобразование Лежандра производящего функционала

$$W_{c}[J]~\equiv~\Gamma[\phi_{\rm cl}] + J_k \phi_{\rm cl}^k \tag{B8}$$ для связных диаграмм. Обратите внимание, что уравнения EL. (B5) совместимы с этим.

Из-за структурного сходства между двумя преобразованиями Лежандра (A8) и (B8), ср. Таблица 1, мы получаем аналог уравнения. (А9):

$$\begin{align}&W_c[J]~\stackrel{(B3)+(B4)+(B8)}{=}\cr \lim_{\hbar^{\prime}\to 0} \frac{\hbar^{\prime}}{i}& \ln\left( \exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}} \Gamma_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar^{\prime}}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\} \exp\left\{- \frac{i}{2\hbar^{\prime}} J_k (\Gamma_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\} \right) .\end{align}\tag{B9}$$ Оглядываясь назад, ур. (B9) можно рассматривать как функториальное следствие уравнений. (B1) и (B8) отдельно.

С другой стороны, для произвольного конечного множества вставок внешних источников (сумма всех возможных) связных диаграмм есть (сумма всех возможных) деревьев полных пропагаторов$^{\dagger}$ $(\Gamma_2^{-1})^{k\ell}$и (ампутированные) вершины 1PI, ср. Лемма 3.11 в [1]. 5.

Вместе с экв. (B9), заключаем, что эффективное действие$\Gamma[\phi_{\rm cl}]$является производящим функционалом для (ампутированных) вершин 1PI (и обратного полного пропагатора$(\Gamma_2)_{k\ell}$).$\Box$

Использованная литература:

1. С. Вайнберг, Квантовая теория полей, Vol. 2, 1995; Раздел 16.1.

2. С. Коулман, Аспекты симметрии, 1985; п. 135-6.

3. М. Средненицкий, QFT , 2007; Глава 21. Предварительный PDF-файл доступен здесь .

4. Д. Скиннер , КТП в 0D , с. 32. (Подсказка: Последний рыцарь Шелкового пути .)

5. P. Etingof, Geometry & QFT, MIT 2002 online конспекты лекций ; Разделы 3.11 и 3.12. (Подсказка: Абдельмалек Абдесселам .)

6. Р. Кляйсс, Картинки, пути, частицы, процессы, диаграммы Фейнмана и все такое и Стандартная модель , конспект лекций, 2013; раздел 1.5.2.

--

$^{\dagger}$ Хорошая печать:

1. Предположим, что генератор$W_c[J]$связных диаграмм не имеет членов, линейных по$J$, так что эффективное действие$\Gamma[\phi_{\rm cl}]$не имеет членов, линейных по$\phi_{\rm cl}$, и так что$(\Gamma_2^{-1})^{k\ell}=-(W_{c,2})^{k\ell}$— полносвязный пропагатор, ср. мой ответ Phys.SE здесь .

2. Здесь понятие одночастичных неприводимых (1PI) вершин определено относительно. к полным пропагаторам$(W_{c,2})^{k\ell}$, что эквивалентно понятию вершин 1PI относительно. оголять пропагаторов$(S_2^{-1})^{k\ell}$, ср. например , этот пост Phys.SE.

У этого есть математически строгое доказательство с использованием теории групп, связанной с графами. Вы можете найти его в конспектах лекций Массачусетского технологического института. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИДЕИ И ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

На стр. 13 теорема 3.4 имеет доказательство. Чтобы найти более полезные детали доказательства, вы можете проверить кембриджские конспекты лекций Дэвида Скиннера Advanced Quantum Field Theory . В первой главе он представил так называемую$0$-мерная квантовая теория поля (т.е. интегралы Гаусса) и теория групп, необходимые для понимания доказательства из предыдущих конспектов лекций.