Равновременные коммутационные соотношения в каноническом квантовании релятивистских свободных полей

Question

Равновременные коммутационные соотношения в каноническом квантовании релятивистских свободных полей

Физика
коммутатор
квантование
вторичное квантование
квантовая теория поля
гамильтоновский формализм

СРС

Почему при каноническом квантовании релятивистских свободных полей используется соотношение равновременной коммутации? В релятивистской теории пространство и время должны рассматриваться на равных основаниях.

Охотник

Возможно, связано с физикой.stackexchange.com/q /90963

Дану

Я бы так не сказал, Хантер.

джошфизика

Когда вы говорите «почему», вы спрашиваете, как мы можем обойтись без коммутационных соотношений равного времени? Почему вопросы сложно интерпретировать. Одним из ответов могло бы быть, например, отметить, что мы делаем то же самое в квантовой механике с операторами, представляющими фундаментальные степени свободы в фазовом пространстве, и мы просто делаем то же самое в КТП; его. Будет ли ответ такого типа удовлетворительным?

джошфизика

@RoopamSinha Инвариантные теории поля Пуанкаре уважают специальную теорию относительности, а не все теории поля. В этих теориях важна инвариантность объектов, определяющих теорию, при изменении системы отсчета. Идея одинакового отношения к пространству и времени несколько расплывчата; Вы бы сказали, что тот факт, что

t t

$tt$ составляющая метрики имеет иной знак, чем пространственная составляющая - это нарушение времени и пространства, трактуемое "одинаково"? Время и пространство физически не одно и то же, они просто рассматриваются как две координаты многообразия.

Ответы (4)

Равновременные коммутационные соотношения в каноническом квантовании релятивистских свободных полей

Возможно, связано с физикой.stackexchange.com/q /90963
Когда вы говорите «почему», вы спрашиваете, как мы можем обойтись без коммутационных соотношений равного времени? Почему вопросы сложно интерпретировать. Одним из ответов могло бы быть, например, отметить, что мы делаем то же самое в квантовой механике с операторами, представляющими фундаментальные степени свободы в фазовом пространстве, и мы просто делаем то же самое в КТП; его. Будет ли ответ такого типа удовлетворительным?
@RoopamSinha Инвариантные теории поля Пуанкаре уважают специальную теорию относительности, а не все теории поля. В этих теориях важна инвариантность объектов, определяющих теорию, при изменении системы отсчета. Идея одинакового отношения к пространству и времени несколько расплывчата; Вы бы сказали, что тот факт, что $tt$ составляющая метрики имеет иной знак, чем пространственная составляющая - это нарушение времени и пространства, трактуемое "одинаково"? Время и пространство физически не одно и то же, они просто рассматриваются как две координаты многообразия.

Вальтер Моретти · Answer 1

На самом деле можно было бы также обсудить коммутационные соотношения в разное время:

[ф (Икс), ф (у)] "=" я Е (Икс, у) я (1)

$[\phi(x),\phi(y)] = i E(x,y) I\quad (1)$ для свободных полей

E

$E$ - это так называемый причинный пропагатор или опережающее минус запаздывающее фундаментальное решение , которое зависит от уравнения свободного поля, которому удовлетворяет

ϕ

$\phi$ .

Дело в том, что при переходе к рассмотрению взаимодействующих полей, хотя бы формально, равновременные коммутационные соотношения остаются неизменными по отношению к свободному случаю, тогда как соответствующие (1) переходят в практически неизвестный вид, так как включают в себя полную динамику .

На самом деле даже эта идея работает не полностью, так как взаимодействующие поля $\Phi$ зависят от константы перенормировки $Z^{1/2}$ :

Φ (т, \vec{Икс}) \to Z^{1 / 2} ф (т, \vec{Икс}) в слабом смысле как т \to \pm \infty

$\Phi (t,\vec x) \to Z^{1/2} \phi(t, \vec x)\quad \mbox{in weak sense as } t \to \pm \infty$ и, наивно занимаясь процедурой перенормировки, возникает

Z = 0

$Z=0$ . Таким образом, канонические коммутационные соотношения кажутся несостоятельными для полей

Φ (x), \partial_{t} Φ (y) = Π (y)

$\Phi(x), \partial_t \Phi(y) = \Pi(y)$ . Однако все это звучит немного академично, поскольку процедура перенормировки в некотором смысле решает проблему.

Я хотел бы подчеркнуть, что тот факт, что коммутационные соотношения берутся в одно и то же время, не противоречит релятивистской инвариантности: ковариантность (т. е. использование тензоров и рассмотрение пространства и времени на одной основе) — это лишь один из способов явного релятивистского инвариантность , но отнюдь не единственная!

Гамильтоновский формализм не является ковариантным, хотя и релятивистски инвариантным : все уравнения (включая CCR) принимают одинаковую форму в каждой инерциальной системе отсчета.

Дану · Answer 2

Разумеется, поле и импульс не коммутируют, если рассматривать их в одном и том же примере, в соответствии с логикой квантовой механики. Однако нет никаких причин, по которым поле и импульс не должны коммутировать, когда они хорошо разделены во времени. Грубо говоря, они просто не имеют ничего общего друг с другом. Логический вывод заключается в том, что следует использовать соотношения коммутации равновременных, которые означают, что величины не коммутируют в равные моменты времени, но коммутируют, когда хорошо разделены во времени.

СРС · Answer 3

Позвольте мне набросать ответ, разработанный в справочнике «Первая книга квантовой теории поля» Лахири и Пала (второе издание, стр. $30$ ).

Согласно этой ссылке выше, коммутатор

\begin{matrix} (1) & [ф (т, Икс), π (т, у)] "=" я {дельта}^{(3)} (Икс - у) \end{matrix}

$[\phi(t,\textbf{x}),\pi(t,\textbf{y})]=i\delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})\tag{1}$ на самом деле ковариантна, хотя ковариантность не проявляется!

Если две точки пространства-времени совпадают в одной инерциальной системе отсчета, то они совпадут и в разных инерциальных системах отсчета. Поэтому, по крайней мере, для частного случая, когда $x=y$ (т.е., $x^0=y^0=t$ и $\textbf{x}=\textbf{y}$ ), коммутационное соотношение $(1)$ выполняется в той же форме в другой инерциальной системе отсчета.

Теперь спросим, имеет ли отношение $(1)$ , вообще говоря, преобразуется ковариантно относительно преобразования Лоренца. Первое, что нужно отметить, это то, что $\phi$ является скаляром, и $\pi=\partial_0\phi$ . Следовательно, свойство преобразования Лоренца LHS происходит из $\partial_0$ из чего становится ясно, что LHS должна преобразовываться подобно временной составляющей четырехвектора. Теперь, так как

\begin{matrix} (2) & \int г т \int г^{3} у {дельта}^{(3)} (Икс - у) "=" \int г т \end{matrix}

$\int dt\int d^3\textbf{y}\delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})=\int dt\tag{2}$ и

d^{4} y = d t d^{3} y

$d^4y=dtd^3\textbf{y}$ является лоренц-инвариантным,

δ^{(3)} (x - y)

$\delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})$ также должен преобразовываться, как временная составляющая четырехвектора. Поэтому,

(1)

$(1)$ является ковариантным.

Хиггсс · Answer 4

Полевые операторы определены в картине Гейзенберга, а равновременный коммутатор в картине Гейзенберга — это просто обычный коммутатор в картине Шредингера. Следовательно, это действительно то же самое, что мы делаем в обычном QM!

Как вы указали, понятие «равное время» не является инвариантом Лоренца. Действительно, в канонической процедуре квантования лоренц-инвариантность лежащей в основе теории поля скрыта, потому что мы должны выделить направление времени. Однако лоренц-инвариантность не утрачена, хотя и не проявляется.

С другой стороны, лоренц-инвариантность проявляется в квантовании интеграла по путям, что является одним из преимуществ этого метода.

Равновременные коммутационные соотношения в каноническом квантовании релятивистских свободных полей

СРС

Охотник

Дану

джошфизика

джошфизика

Ответы (4)

Вальтер Моретти

Дану

СРС

Хиггсс

Эволюция Шредингера для уравнения Клейна-Гордона

Эквивалентность классического и квантованного уравнений движения для свободного поля

Упорядочивание неоднозначности в квантовом гамильтониане

Возможно ли «третье квантование»?

Нахождение операторов создания/уничтожения

Коммутационные соотношения при вторичном квантовании

Имеется ли гамильтониан КТП, существует ли уникальный лагранжиан?

Пространство состояний КТП, CCR и квантования, а также спектр полевого оператора?

Квантование свободного поля: случай Клейна-Гордона

Градиентный коммутатор в теории ϕ4ϕ4\phi^4